Integrale secondo Lebesgue

[Marchello89]

Salve sto studiando l'integrale secondo lebesgue ed ho difficoltà a capire da dove esce l'ultima uguaglianza:

Sia $g: R^N to R_+ $ una funzione semplice, non negativa, che assume valori $c_1,c_2,c_n$ sugli insiemi misurabili $E_1,E_2,...E_N$ Se $mu_k$ è la misura di $E_K$ , $mu_k := m(E_k) $ , definiamo l'integrale di Lebesgue di g ponendo

$int_(R^n)g(x) dx := sum_(k=1)^N c_k mu_K$

L'integrale lo posso vedere come area della funzione, allora posso vedere la funzione g(x) espressa come sommatoria delle misure degli insiemi, ma allora perché la devo moltiplicare per i coefficienti?

[dissonance]

Base per altezza.

[Marchello89]

sì se ragiono su R mi trovo. Il problema mi sorge quando penso a uno spazio tipo $R^2$ la misura degli insiemi E non è un area che moltiplicata per dei coefficienti che mi da come risultato un volume, è giusto come ragionamento?

[Seneca1]

Invece sì, la misura di Lebesgue bidimensionale generalizza proprio l'idea elementare di "area".

[Marchello89]

$ int_(R^2) g(x) dx= $ è uguale a un volume o a un'area?

[Epimenide93]

Prova a pensare ad una funzione \( \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) costantemente uguale a \(2\) nella palla unitaria chiusa centrata nell'origine e nulla altrove. Quell'integrale cosa misura?

[Seneca1]

Quello è un numero reale che interpretativamente si può pensare come il volume del sottografico di $g$ (più precisamente è la misura del sottografico...); dico interpretativamente perché $g$ potrebbe essere la funzione di Dirichlet e quindi non saprei come vedere il volume del sottografico in termini elementari.

[Marchello89]

ok mi trovo!