Integrale sconcertante

[stefanofet]

$int(1/(1+t^5) dt)$

Come si risolve? con che tecnica? quel $t^5$ mi sconcerta

[Bartolomeo2]

prova per sostituzione... ma non sono sicuro..... $v=1+t^5$.. e calcola dv naturalmente....

[stefanofet]

"Bartolomeo":prova per sostituzione... ma non sono sicuro..... $v=1+t^5$.. e calcola dv naturalmente....

e con $dv=5*t^4 dt$ che ci faccio? non ho nulla per semplificarlo, mi rimarrebbe sempre $int(1/(v*5*t^4) dv)$

[Mortimer1]

E' un integrale antologico è vero, c'è una specifica formula che ti da il risultato sotto forma complessa, per passare poi in forma reale si distinguono due sottocasi,cioè n pari e dispari, un pò di pazienza e te la posto.

[_luca.barletta]

Prova a fattorizzare così:

$1+t^5=(1+t)(t^2 + t(sqrt(5)/2 - 1/2) + 1)(t^2 - t(sqrt(5)/2 + 1/2) + 1)$

(Divagazione: 400° post )

[stefanofet]

veramente questo integrale $int(1/(1+t^5) dt)$ va da $0$ ad $x^2$ ma prima devo comunque calcolarlo, era in un appello di analisi1
provo con la fattorizzazione, spero riesca cosi altrimenti per la via indicata da mortimer c'è qualche speranza?

[Mortimer1]

$int dx/(x^n+1)=-1/n sum_(k=0)^(n-1) e^(((2k+1)pii)/n)log(x-e^(((2k+1)pii)/n))+C

Ora per passare in forma reale si distinguono i due sottocasi, $n$ pari e dispari Primo caso:posto $n=2m$
$int dx/(x^(2m)+1)=-1/(2m) sum_(k=0)^(m-1)(cos((2k+1)pi/(2m))*log(x^2-2xcos((2k+1)pi/(2m))+1)+2sin((2k+1)pi/(2m))*arctg((x-(cos((2k+1)pi/(2m))))/(sin((2k+1)pi/(2m)))))+C$
Con $n$ dispari posto $n=2m+1$
$int dx/(x^(2m+1)+1)=1/(2m+1)(log(x+1)-sum_(k=0)^(m-1)(cos((2k+1)pi/(2m+1))*log(x^2-2xcos((2k+1)pi/(2m+1))+1)+2sin((2k+1)pi/(2m+1))*arctg((x-(cos((2k+1)pi/(2m+1))))/(sin((2k+1)pi/(2m+1)))))+C$
Ci sarebbe anche l'integrale del tipo $int dx/(x^n-1)$. Queste formule sono tratte dal Ghizzetti "Complementi di Analisi" se sei interessato a controllarle e/o a ricavartele.

[stefanofet]

grazie, certo che siete dei geni, mi piacerebbe sapere bene la matematica come sapete voi!

[stefanofet]

"luca.barletta":Prova a fattorizzare così:

$1+t^5=(1+t)(t^2 + t(sqrt(5)/2 - 1/2) + 1)(t^2 - t(sqrt(5)/2 + 1/2) + 1)$

(Divagazione: 400° post )

dopo che ho fattorizzato vado sia per parti che per sostituzione vero?

[_luca.barletta]

Comincia col spezzare la frazione in tante frazioni quanti sono i fattori del denominatore... poi gli integrali che trovi dovrai metterli a posto per riconoscere degli integrali "immediati" le quali primitive sono logaritmo e arcotangente.

[stefanofet]

"luca.barletta":Prova a fattorizzare così:

$1+t^5=(1+t)(t^2 + t(sqrt(5)/2 - 1/2) + 1)(t^2 - t(sqrt(5)/2 + 1/2) + 1)$

(Divagazione: 400° post )

con questa scomposizione ci sono riuscito! ma come ci si arriva a quella scomposizione? capisco che bisogna dividere per $1+t$ in modo che viene $(1+t)(t^4-t^3+t^2-t+1)$ ma poi quel polinomio di 4° grado come lo divido in quei due polinomi di 2° grado?

[Cmax1]

Giusto per curiosità, l'esercizio del compito di analisi 1 richiedeva davvero il calcolo dell'integrale? O piuttosto richiedeva di calcolare o dimostrare qualcosa di una funzione del tipo $F(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{1+t^5}dt $?

[_luca.barletta]

Scrivi questa fattorizzazione:

$(t^4-t^3+t^2-t+1)=(t^2+at+b)(t^2+ct+d)=t^4+(a+c)t^3+(ac+b+d)t^2+(ad+bc)t+bd$

applichi il principio di identità dei polinomi e scrivi un sistema 4x4, lo risolvi possibilmente nel campo reale. Puoi cercare una fattorizzazione veloce imponendo $b=d=1$.

[stefanofet]

"Cmax":Giusto per curiosità, l'esercizio del compito di analisi 1 richiedeva davvero il calcolo dell'integrale? O piuttosto richiedeva di calcolare o dimostrare qualcosa di una funzione del tipo $F(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{1+t^5}dt $?

Il testo del problema era:

Data la funzione $F(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{1+t^5}dt $
Scrivere la formula di McLaurin arrestata al secondo ordine (con resto di Peano) di $F(x)$