Integrale rognoso...

[Alfy881]

Salve ragazzi... mi serve una mano. Devo risolvere questo integrale:

$ int xlog(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx $

Dapprima ho provato con una integrazione per parti, scegliendo opportunamente un fattore finito e uno differenziale:

$ f(x)= log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1)) $ e quindi $ f'(x)= 1/(2sqrt(x^2-1) $

$ g'(x)=x $ e quindi $ g(x)=x^2/2 $

Applicando la formula di integrazione per parti si ha:

$ int xlog(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx = x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/4(int x^2/(sqrt(x^2-1))dx) $

Adesso tutto sta nel calcolare il secondo integrale. Ho pensato ad una sostituazione razionalizzante! Che dite?

$ int x^2/(sqrt(x^2-1))dx= $

con la sostituzione $ sqrt(x^2-1)= t-x $ si ha:

$ x=(t^2+1)/(2t) $ e, quindi: $ dx=(t^2-1)/(2t^2)dt $

Si ha ancora:

$ sqrt(x^2-1)= t-x $ e cioè $ sqrt(x^2-1)= t-(t^2+1)/(2t) $, quindi $ sqrt(x^2-1)= (t^2-1)/(2t) $

Allora posso scrivere:

$ int x^2/(sqrt(x^2-1))dx= int ((t^2+1)^2)/(4t^3)dt= int (t^4+2t^2+1)/(4t^3)dt $

L'ultimo integrale si risolve facilmente per decomposizione in somma:

$ int (t^4+2t^2+1)/(4t^3)dt = t^2/8+1/2log|t|-1/(8t^2)+K$

Ricordando che: $ t=sqrt(x^2-1)+x $ si ha:

$ int x^2/(sqrt(x^2-1))dx=(sqrt(x^2-1)+x)^2/8+1/2log|sqrt(x^2-1)+x|-1/(8(sqrt(x^2-1)+x)^2)+K $

Ed infine:

$ int xlog(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx = x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/4((sqrt(x^2-1)+x)^2/8+1/2log|sqrt(x^2-1)+x|-1/(8(sqrt(x^2-1)+x)^2))+K $

quindi il risultato:

$ int xlog(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx = x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-(sqrt(x^2-1)+x)^2/32-1/8log|sqrt(x^2-1)+x|+1/(32(sqrt(x^2-1)+x)^2)+K $

Cosa ho sbagliato? Su Wolfram non mi avvcino nemmeno lontanamente...

[theras]

Mmhh..i calcoli sembrano giusti:
hai provato a sottrarre la tua primitiva da quella di Wolfram?
Magari vien fuori una costante..
Saluti dal web.

[anto_zoolander]

I calcoli sono corretti. Ho fatto la derivata di quello che ti è venuto e torna l'integranda, dopo un macello di passaggi.
Io l'ho svolto in un'altra maniera, che è molto probabilmente quella di Wolfram. Ti metto la mia soluzione sotto spoiler così puoi confrontarla, fammi sapere se ti trovi

$intxlog(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx$

il dominio è $D={x inRR:x in[1,+infty)}$

ora il primo passaggio è ovvio, ci liberiamo del logaritmo integrando per parti. Anche se integrando per parti sorge un piccolo problema, ovvero che quel mappazzone non è derivabile in $1$

$x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/2intx^2/(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))[1/(2sqrt(x+1))+1/(2sqrt(x-1))]dx$

mi concentro solo sulla seconda parte per il momento.

$intx^2/(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))[1/(2sqrt(x+1))+1/(2sqrt(x-1))]dx$

$1/4intx^2(sqrt(x+1)-sqrt(x-1))*[(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))/(sqrt(x^2-1))]dx$

$1/2intx^2/(sqrt(x^2-1))dx$ ora ricongiungendo i pezzi

$x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/4intx^2/(sqrt(x^2-1))dx$

come vedi c'è quel denominatore che si annulla in $1$, quindi per il momento dobbiamo togliere dal dominio il punto $x=1$ facendo diventare il dominio $D={x inRR:x in(1,+infty)}$ questo se vogliamo fare una cosa sistemata.

questo è il primo pezzo, dove le strade si dividono
Per adesso prendo in considerazione solo la seconda parte

$intx^2/(sqrt(x^2-1))dx$ lo prendo e lo guardo come

$1/2intx*(2x)(x^2-1)^(-1/2)dx$ e integro per parti

$1/2*xsqrt(x^2-1)/(1/2)-1/2intsqrt(x^2-1)/(1/2)dx=xsqrt(x^2-1)-intsqrt(x^2-1)dx$

dunque l'integrale al momento si presenta come:

$x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/4xsqrt(x^2-1)+1/4intsqrt(x^2-1)dx$

l'ultimo integrale si presenta abbastanza bene per una sostituzione che si fa spesso quando si ha una radice di quel tipo, ovvero:

$x=sec(z) => dx=dz(sin(z)/(cos^2(z)))$

nota che la funzione deve essere invertibile, ovvero una volta finito, dobbiamo tornare in $x$. Quindi deve essere possibile tener conto di $z=arccos(1/x)$ ora.. quando è invertibile la secante? basta prendere come intervallo $zin(0,pi/2)$ dove tiene conto di tutto l'asse $x>1$

$intsqrt(x^2-1)dx=intsqrt(sec^2(z)-1)*sin(z)/(cos^2(z))dz$

considerando la relazione $sec^2(z)-1=tan^2(z)$ e notando che $tan(z)$ nell'intervallo $(0,pi/2)$ è strettamente positiva, possiamo finire a questo integrale:

$inttan(z)*sin(z)/(cos^2(z))dz=inttan^2(z)sec(z)dz$

$int(sec^2(z)-1)sec(z)dz=intsec^3(z)dz-intsec(z)dz$

ora l'ultima parte è concentrata sulla soluzione dei due integrali finali

allora adesso parto risolvendo il primo:

$intsec^3(z)dz=intsec(z)sec^2(z)dz$

ricordiamo che $sec^2(z)=1/cos^2(z)=d/dz(tan(z))$ dunque integro per parti

$tan(z)sec(z)-inttan(z)*sin(z)/(cos^2(z))dz$

$tan(z)sec(z)-int(sec^2(z)-1)sec(z)dz$

$intsec^3(z)dz=tan(z)sec(z)-intsec^3(z)+intsec(z)dz$

$intsec^3(z)dz=1/2[tan(z)sec(z)+intsec(z)dz]$

$intsec^3(z)dz-intsec(z)dcz=(tan(z)sec(z))/2-1/2intsec(z)dz$

intanto portiamo in $x$ gli altri due, ricordando che abbiamo questa sostituzione $sec(z)=x$ e che dobbiamo tener conto di $tan^2(z)=sec^2(z)-1 => tan(z)=pmsqrt(sec^2(z)-1)$ ma siccome per l'intervallo ricoperto da $z$ la tangente è positiva, possiamo concludere che:

$(sec(z)tan(z))/2=(xsqrt(x^2-1))/2$

ora non ci rimane che risolvere l'ultimo integrale, che è di per se molto semplice:

$intsec(z)dz=int1/cos(z)dz=intcos(z)/(1-sin^2(z))dz$

applicando la sostituzione $sin(z)=y => dy=(cos(z))dz$

$int1/(1-y^2)dy$

questo è abbastanza banale, ti riporto direttamente la soluzione:

$intsec(z)dz=1/2log((1+sin(z))/(1-sin(z)))$

considerando che $z=arccos(1/x)$

$1/2log((1+sqrt(1-1/x^2))/(1-sqrt(1-1/x^2)))$

facendo un paio di passaggi e una razionalizzazione:

$log(x+sqrt(x^2-1))$

dunque $intsec^3(z)dz-intsec(z)dcz=(xsqrt(x^2-1))/2-1/2log(x+sqrt(x^2-1))$

ora possiamo unire di nuovo tutto l'integrale.

$x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/4xsqrt(x^2-1)+1/4[(xsqrt(x^2-1))/2-1/2log(x+sqrt(x^2-1))]+c$

e raccogliendo $1/8$

$1/8[4x^2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-xsqrt(x^2-1)-log(x+sqrt(x^2-1))]+c$

spero ti sia utile

Per quanto riguarda il punto $x=1$ potresti prolungare il dominio per continuità, ponendo $F(1)=1/4log(2)$

[Alfy881]

"anto_zoolander":I calcoli sono corretti. Ho fatto la derivata di quello che ti è venuto e torna l'integranda, dopo un macello di passaggi.
Io l'ho svolto in un'altra maniera, che è molto probabilmente quella di Wolfram. Ti metto la mia soluzione sotto spoiler così puoi confrontarla, fammi sapere se ti trovi

$intxlog(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))dx$

il dominio è $D={x inRR:x in[1,+infty)}$

ora il primo passaggio è ovvio, ci liberiamo del logaritmo integrando per parti. Anche se integrando per parti sorge un piccolo problema, ovvero che quel mappazzone non è derivabile in $1$

$x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/2intx^2/(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))[1/(2sqrt(x+1))+1/(2sqrt(x-1))]dx$

mi concentro solo sulla seconda parte per il momento.

$intx^2/(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))[1/(2sqrt(x+1))+1/(2sqrt(x-1))]dx$

$1/4intx^2(sqrt(x+1)-sqrt(x-1))*[(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))/(sqrt(x^2-1))]dx$

$1/2intx^2/(sqrt(x^2-1))dx$ ora ricongiungendo i pezzi

$x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/4intx^2/(sqrt(x^2-1))dx$

come vedi c'è quel denominatore che si annulla in $1$, quindi per il momento dobbiamo togliere dal dominio il punto $x=1$ facendo diventare il dominio $D={x inRR:x in(1,+infty)}$ questo se vogliamo fare una cosa sistemata.

questo è il primo pezzo, dove le strade si dividono
Per adesso prendo in considerazione solo la seconda parte

$intx^2/(sqrt(x^2-1))dx$ lo prendo e lo guardo come

$1/2intx*(2x)(x^2-1)^(-1/2)dx$ e integro per parti

$1/2*xsqrt(x^2-1)/(1/2)-1/2intsqrt(x^2-1)/(1/2)dx=xsqrt(x^2-1)-intsqrt(x^2-1)dx$

dunque l'integrale al momento si presenta come:

$x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/4xsqrt(x^2-1)+1/4intsqrt(x^2-1)dx$

l'ultimo integrale si presenta abbastanza bene per una sostituzione che si fa spesso quando si ha una radice di quel tipo, ovvero:

$x=sec(z) => dx=dz(sin(z)/(cos^2(z)))$

nota che la funzione deve essere invertibile, ovvero una volta finito, dobbiamo tornare in $x$. Quindi deve essere possibile tener conto di $z=arccos(1/x)$ ora.. quando è invertibile la secante? basta prendere come intervallo $zin(0,pi/2)$ dove tiene conto di tutto l'asse $x>1$

$intsqrt(x^2-1)dx=intsqrt(sec^2(z)-1)*sin(z)/(cos^2(z))dz$

considerando la relazione $sec^2(z)-1=tan^2(z)$ e notando che $tan(z)$ nell'intervallo $(0,pi/2)$ è strettamente positiva, possiamo finire a questo integrale:

$inttan(z)*sin(z)/(cos^2(z))dz=inttan^2(z)sec(z)dz$

$int(sec^2(z)-1)sec(z)dz=intsec^3(z)dz-intsec(z)dz$

ora l'ultima parte è concentrata sulla soluzione dei due integrali finali

allora adesso parto risolvendo il primo:

$intsec^3(z)dz=intsec(z)sec^2(z)dz$

ricordiamo che $sec^2(z)=1/cos^2(z)=d/dz(tan(z))$ dunque integro per parti

$tan(z)sec(z)-inttan(z)*sin(z)/(cos^2(z))dz$

$tan(z)sec(z)-int(sec^2(z)-1)sec(z)dz$

$intsec^3(z)dz=tan(z)sec(z)-intsec^3(z)+intsec(z)dz$

$intsec^3(z)dz=1/2[tan(z)sec(z)+intsec(z)dz]$

$intsec^3(z)dz-intsec(z)dcz=(tan(z)sec(z))/2-1/2intsec(z)dz$

intanto portiamo in $x$ gli altri due, ricordando che abbiamo questa sostituzione $sec(z)=x$ e che dobbiamo tener conto di $tan^2(z)=sec^2(z)-1 => tan(z)=pmsqrt(sec^2(z)-1)$ ma siccome per l'intervallo ricoperto da $z$ la tangente è positiva, possiamo concludere che:

$(sec(z)tan(z))/2=(xsqrt(x^2-1))/2$

ora non ci rimane che risolvere l'ultimo integrale, che è di per se molto semplice:

$intsec(z)dz=int1/cos(z)dz=intcos(z)/(1-sin^2(z))dz$

applicando la sostituzione $sin(z)=y => dy=(cos(z))dz$

$int1/(1-y^2)dy$

questo è abbastanza banale, ti riporto direttamente la soluzione:

$intsec(z)dz=1/2log((1+sin(z))/(1-sin(z)))$

considerando che $z=arccos(1/x)$

$1/2log((1+sqrt(1-1/x^2))/(1-sqrt(1-1/x^2)))$

facendo un paio di passaggi e una razionalizzazione:

$log(x+sqrt(x^2-1))$

dunque $intsec^3(z)dz-intsec(z)dcz=(xsqrt(x^2-1))/2-1/2log(x+sqrt(x^2-1))$

ora possiamo unire di nuovo tutto l'integrale.

$x^2/2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-1/4xsqrt(x^2-1)+1/4[(xsqrt(x^2-1))/2-1/2log(x+sqrt(x^2-1))]+c$

e raccogliendo $1/8$

$1/8[4x^2log(sqrt(x+1)+sqrt(x-1))-xsqrt(x^2-1)-log(x+sqrt(x^2-1))]+c$

spero ti sia utile

Per quanto riguarda il punto $x=1$ potresti prolungare il dominio per continuità, ponendo $F(1)=1/4log(2)$

Ho perfettamente capito tutto! Ma probabilmente non sarei mai passato per questa strada perchè non ci sarei arrivato. Ma credo sua utilissimo che lo rifaccia anche in questo modo!!! Grazie di cuore!

Sono felice però che i miei conti siano giusti

[Alfy881]

"anto_zoolander":I calcoli sono corretti. Ho fatto la derivata di quello che ti è venuto e torna l'integranda, dopo un macello di passaggi.

Sei sicuro di trovarti?! io non riesco proprio

[anto_zoolander]

"Alfy88":[quote="anto_zoolander"]I calcoli sono corretti. Ho fatto la derivata di quello che ti è venuto e torna l'integranda, dopo un macello di passaggi.

Sei sicuro di trovarti?! io non riesco proprio [/quote]


Si può applicare il teorema che dice: due primitive di una stessa funzione differiscono al più per una costante.