Integrale rispetto alla misura di Dirac
Ciao ragazzi, mi rivolgo a Voi per un dubbio che riguarda l'integrazione rispetto alla misura di Dirac.
L'integrale in questione è il seguente:
$\int((1-\epsilon)H(x,y)+\epsilon \delta_{x,y})^2d\delta_x$
Io ho pensato di risolvere in questo modo:
$\int((1-\epsilon)H(x,y)+\epsilon \delta_{x,y})^2d\delta_x=((1-\epsilon)H(x,y)+\epsilon \delta_{x,y})^2$,
può andare? In reatà non ho ben capito come si integra rispetto a questa misura, non ho ancora seguito un corso di teoria della misura. Mi servono questi strumenti per studi statistici.
Vi ringrazio in anticipo!
L'integrale in questione è il seguente:
$\int((1-\epsilon)H(x,y)+\epsilon \delta_{x,y})^2d\delta_x$
Io ho pensato di risolvere in questo modo:
$\int((1-\epsilon)H(x,y)+\epsilon \delta_{x,y})^2d\delta_x=((1-\epsilon)H(x,y)+\epsilon \delta_{x,y})^2$,
può andare? In reatà non ho ben capito come si integra rispetto a questa misura, non ho ancora seguito un corso di teoria della misura. Mi servono questi strumenti per studi statistici.
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Devi spiegare i simboli. \(x\) è la variabile di integrazione? Se si, allora dove è concentrata la delta di Dirac? E \(\delta_{x, y}\) che cosa significa?
Mi viene difficile da spiegare. Il punto di partenza è un integrale doppio, ma per ora lavoro solo su una variabile. Con $\delta_{x,y}$ si intende la misura che assegna massa unitaria al punto $(x,y)$, mentre con $\delta_x$ la misura che assegna probabilità uno al punto $x$. Forse mi sono spiegato ancora male..
Parto allora dalle origine, è noto che
$\int xd\delta_x=x$. Mi spiegate i passaggi mtematici che portano a queso risultato?
Parto allora dalle origine, è noto che
$\int xd\delta_x=x$. Mi spiegate i passaggi mtematici che portano a queso risultato?
E ma c'è qualcosa che non va. Questa formula
\[\int x\, d \delta_x=x\]
è inconsistente. Una inconsistenza analoga si avrebbe, per esempio, con una scrittura come
\[\int_a^b f(x)\,dx=g(x):\]
nel membro sinistro la \(x\) è una variabile muta, in quello destro no. Forse tu vuoi dire: se \(\delta_{x_0}\) è una delta di Dirac concentrata nel punto \(x_0\), allora
\[\int_{\mathbb{R}}x \, d\delta_{x_0}=x_0.\]
Questa formula è corretta ed è la definizione della delta di Dirac. Infatti, \(\delta_{x_0}\) può essere definita come l'unica misura su \(\mathbb{R}\) tale che
\[\int_{\mathbb{R}}f(x) \, d\delta_{x_0}=f(x_0)\]
per ogni funzione continua \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\).
\[\int x\, d \delta_x=x\]
è inconsistente. Una inconsistenza analoga si avrebbe, per esempio, con una scrittura come
\[\int_a^b f(x)\,dx=g(x):\]
nel membro sinistro la \(x\) è una variabile muta, in quello destro no. Forse tu vuoi dire: se \(\delta_{x_0}\) è una delta di Dirac concentrata nel punto \(x_0\), allora
\[\int_{\mathbb{R}}x \, d\delta_{x_0}=x_0.\]
Questa formula è corretta ed è la definizione della delta di Dirac. Infatti, \(\delta_{x_0}\) può essere definita come l'unica misura su \(\mathbb{R}\) tale che
\[\int_{\mathbb{R}}f(x) \, d\delta_{x_0}=f(x_0)\]
per ogni funzione continua \(f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\).
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