Integrale risolvibile con analisi complessa

[giggiotb]

Salve a tutti, mi sto cimentando con questo integrale:
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2 + a^2} dx \,\,\, \; a \neq 0
$$
In particolare dovrei risolverlo usando il teorema dei residui. Come suggerimento mi dice: "Considerare la
$$
f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2 + a^2}
$$
ed integrarla sul cammino
$$
\gamma_R=\{ |z| = R , Im(z) \geq 0\} \cup \{-R \leq x \leq R \}
$$
e fare tendere R a $+\infty$ ."
Il fatto di integrare su un cammino e poi far tendere il raggio a infinito mi è abbastanza familiare (quando chiede di risolvere un integrale tramite l'analisi complessa bisogna sempre fare qualcosa del genere), ma ciò che non capisco è quale attinenza ha questa funzione con la mia funzione integranda. So che
$$
\cos z = \frac{1}{2} (e^{iz} + e^{-iz})
$$
ma non capisco come potrei ottenere qualcosa da questo fatto.
Grazie in anticipo per l'aiuto!
$$

[InfiniteJest]

L'attinenza è che il coseno è la parte reale dell'esponenziale complesso.
Risolvendo con l'esponenziale hai però un integrale di Fourier standard facilmente calcolabile di cui, per arrivare al risultato voluto, consideri solo la parte reale.
La soluzione del tuo integrale è un applicazione diretta del teorema dei residui quindi non dovresti avere grosse difficoltà nel calcolo.

Saluti

[InfiniteJest]

Se fossi stato ambiguo, intendo che risolvi l'integrale con l'esponenziale poi prendi solo la parte reale del risultato che ottieni.
Questa è la soluzione del tuo integrale di partenza.