Integrale riemann
Ciao a tutti,
chi mi potrebbe spiegare l'integrale di Riemann??
Grazie.Ciao.
chi mi potrebbe spiegare l'integrale di Riemann??
Grazie.Ciao.
Risposte
e quale sarebbe scusa?
o intendi "la definizione" di integrale data da Reimann?
o intendi "la definizione" di integrale data da Reimann?
Intendevo la definizione...quella della divisione in n parti delle somme superiori inferiori ecc.
posso farti un esempio ma credo che qualunque libro di analisi lo riporta
Io ho capito il fatto che si divide in n intervalli dove la f è definita e si hanno delle somme inferiori e superiori...e poi?
Ciao.
Ciao.
è una somma finita di AREE di rettangoli con base infinitesima
che vorrebbe dire con base infinitesima?
se dividi un intervallo in n intervallini ognuno dei quali è una base del rettangolo ti ritrovi con tante basi piccolissime che tendono a zero...cioè infinitesime
ok
Grazie.
Grazie.
"pmic":
ok
Grazie.
Prego
L'altra cosa importante è che, quando $n rarr oo$,se la funzione $f(x) $ è Riemann -integrabile , allora le somme inferiori e quelle superiori hanno un limite comune, un elemento separatore, che è appunto il valore dell'integrale definito $int_a^b f(x)*dx $ .
se n->infinito che vuol dire....se la funzione è divisa in infinite parti?
Vuol dire che l'intervallo di integrazione $[a,b] $ è diviso in infinite parti e ogni intervallino $(b-a)/n$ è di lunghezza infinitesima .
Dato che è possibile che la prof me lo chieda, provo ad esporti quello che ho capito.
Abbiamo una funzione $f(x)$ continua in un intervallo chiuso $[a,b]$
Possiamo suddividere questo nostro intervallo in $n$ parti: $x_0, x_1, ..., x_(n-1), x_n$ ($a = x_0$, $b=x_n$) ed otterremo così $n+1$ intervallini.
Di questi singoli intervallini proviamo a calcolarne l'area.
La base è data dalla differenza tra gli intervalli consecutivi, ad esempio il primo intervallo che prendiamo in considerazione sarà $[x_0,x_1]$ ovvero $[a,x_1]$, ma la nostra altezza può essere variabile in questo intervallo.
L'area effettiva di dell'intervallino preso in esame è compresa tra l'Area di quell'intervallino (quando si prende come altezza il massimo valore che la funzione assume nel nostro intervallino) e l'Area dello stesso intervallino quando prendiamo come altezza il minimo valore che la funzione assume in quell'intervallino.
Puoi osservare che se la funzione nel nostro intervallino ha che il suo massimo coincide con il suo minimo, le Aree sono uguali e quindi l'area compresa tra le due Aree è un numero finito (che è proprio l'area del nostro intervallino! (l'area di un rettangolo)).
Con questa ipotesi Riemann ha ricavato le Somme Integrali Inferiori e Superiori definendole così:
MAX = valore massimo assunto dalla funzione nell'intervallo $[x_k,x_{k+1}]$
Somme Integrali Superiori $S([a,b]) = sum_{k=0}^n MAX * (x_{k+1}-x_{k})$
(Che sono le somme delle aree di tutti gli intervallini dove per altezza abbiamo sempre il massimo valore della funzione in quell'intervallino)
e
MIN = valore minimo assunto dalla funzione nell'intervallo $[x_k,x_{k+1}]$
Somme Integrali Inferiori $s([a,b]) = sum_{k=0}^n MIN * (x_{k+1}-x_{k})$
(come sopra solo con il minimo
)
Se riduciamo gli intervallini ad intervalli infinitesimi, potremmo riuscire ad ottenere che MIN e MAX di ogni intervallo sono uguali e che quindi avremo un valore finito che è esattamente l'area del nostro intervallo totale *[a,b]*
Riemann ha quindi definito $s([a,b]) <= c <= S([a,b])$
Se facciamo tendere $n$ all'infinito otterremo che $s([a,b]) = c = S([a,b])$ dove $c=int_a^b f(x) dx$
In questo caso (secondo Riemann) la funzione è integrabile e la sua area, nell'intervallo $[a,b]$ è uguale a $c$.
Spero di essere stato chiaro...
Abbiamo una funzione $f(x)$ continua in un intervallo chiuso $[a,b]$
Possiamo suddividere questo nostro intervallo in $n$ parti: $x_0, x_1, ..., x_(n-1), x_n$ ($a = x_0$, $b=x_n$) ed otterremo così $n+1$ intervallini.
Di questi singoli intervallini proviamo a calcolarne l'area.
La base è data dalla differenza tra gli intervalli consecutivi, ad esempio il primo intervallo che prendiamo in considerazione sarà $[x_0,x_1]$ ovvero $[a,x_1]$, ma la nostra altezza può essere variabile in questo intervallo.
L'area effettiva di dell'intervallino preso in esame è compresa tra l'Area di quell'intervallino (quando si prende come altezza il massimo valore che la funzione assume nel nostro intervallino) e l'Area dello stesso intervallino quando prendiamo come altezza il minimo valore che la funzione assume in quell'intervallino.
Puoi osservare che se la funzione nel nostro intervallino ha che il suo massimo coincide con il suo minimo, le Aree sono uguali e quindi l'area compresa tra le due Aree è un numero finito (che è proprio l'area del nostro intervallino! (l'area di un rettangolo)).
Con questa ipotesi Riemann ha ricavato le Somme Integrali Inferiori e Superiori definendole così:
MAX = valore massimo assunto dalla funzione nell'intervallo $[x_k,x_{k+1}]$
Somme Integrali Superiori $S([a,b]) = sum_{k=0}^n MAX * (x_{k+1}-x_{k})$
(Che sono le somme delle aree di tutti gli intervallini dove per altezza abbiamo sempre il massimo valore della funzione in quell'intervallino)
e
MIN = valore minimo assunto dalla funzione nell'intervallo $[x_k,x_{k+1}]$
Somme Integrali Inferiori $s([a,b]) = sum_{k=0}^n MIN * (x_{k+1}-x_{k})$
(come sopra solo con il minimo
)Se riduciamo gli intervallini ad intervalli infinitesimi, potremmo riuscire ad ottenere che MIN e MAX di ogni intervallo sono uguali e che quindi avremo un valore finito che è esattamente l'area del nostro intervallo totale *[a,b]*
Riemann ha quindi definito $s([a,b]) <= c <= S([a,b])$
Se facciamo tendere $n$ all'infinito otterremo che $s([a,b]) = c = S([a,b])$ dove $c=int_a^b f(x) dx$
In questo caso (secondo Riemann) la funzione è integrabile e la sua area, nell'intervallo $[a,b]$ è uguale a $c$.
Spero di essere stato chiaro...
Sì, con l'unica puntualizzazione che le aree che consideri non sono aree degli intervallini (che sarebbe anche difficile visto che sono "pezzi di retta") ma dei rettangolini che hanno per base i beneamati intervallini e per altezza i minimi/massimi della funzione nei sopraccitati intervallini.
"Megan00b":
Sì, con l'unica puntualizzazione che le aree che consideri non sono aree degli intervallini (che sarebbe anche difficile visto che sono "pezzi di retta") ma dei rettangolini che hanno per base i beneamati intervallini e per altezza i minimi/massimi della funzione nei sopraccitati intervallini.
Asd si, sono io che mi esprimo come i cani
Perdonatemi.
allora... bau!
Ok ora ho capito!
Grazie!
Ciao.
Grazie!
Ciao.
"Spire":
Abbiamo una funzione $f(x)$ continua in un intervallo chiuso $[a,b]$
Non c'è bisogno che la funzione sia continua; basta che sia limitata in tale intervallo.
a proposito di integrabilità secondo Riemann, quali sono le risposte giuste a questo esercizio?
Dire quali tra le seguenti funzioni sono sempre integrabili:
a) funzioni continue;
b) funzioni monotone;
c) funzioni derivabili;
d) funzioni limitate;
e) funzioni con punti di discontinuità di 1^ specie;
f) funzioni con un numero finito di punti di discontinuità.
secondo me sicuramente la d), per la a),b),f) sono indeciso perchè dovrebbero essere comunque limitate in un intervallo giusto?
Dire quali tra le seguenti funzioni sono sempre integrabili:
a) funzioni continue;
b) funzioni monotone;
c) funzioni derivabili;
d) funzioni limitate;
e) funzioni con punti di discontinuità di 1^ specie;
f) funzioni con un numero finito di punti di discontinuità.
secondo me sicuramente la d), per la a),b),f) sono indeciso perchè dovrebbero essere comunque limitate in un intervallo giusto?
Perchè sicuramente la $d$? Prendi la funzione di dirichlet, è limitata ma non è integrabile secondo riemann.
Le funzioni Riemann integrabili sono le funzioni continue, quelle monotone, e quelle aventi un numero finito di punti di discontinuità quindi...
Le funzioni Riemann integrabili sono le funzioni continue, quelle monotone, e quelle aventi un numero finito di punti di discontinuità quindi...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo