Integrale riemann

[pmic]

Ciao a tutti,
chi mi potrebbe spiegare l'integrale di Riemann??

Grazie.Ciao.

[kily2001]

grazie mille!
ps: quale è il teorema di integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone?

[Lorenzo Pantieri]

"giuseppe87x":
Le funzioni Riemann integrabili sono le funzioni continue, quelle monotone, e quelle aventi un numero finito di punti di discontinuità

No, il tuo elenco non è completo. Condizione necessaria e sufficiente perché una funzione sia R-integrabile è che l'insieme dei suoi punti di discontintuità abbia misura di Lebesgue nulla.

Ne segue che esistono funzioni R-integrabili con un numero infinito (addirittura, con la potenza del continuo!) di punti di discontintuità. Per esempio l'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla ma con la potenza del continuo. Una funzione che valesse 1 sull'insieme di Cantor e 0 altrimenti avrebbe un numero infinito (con la potenza del continuo) di punti di discontintuità, ma sarebbe R-integrabile (con integrale nullo) su ogni intervallo limitato.

Ciao,
L.

[giuseppe87x]

Si lo so, ma io ho detto quelle che potevano servire a kily per risolvere l'esercizio.
@Kily
Esistono altre funzioni oltre a quelle da me indicate integrabili secondo riemann ad es. $f:[0, 1]={(0 \quad x=0), (0 \quad x in RR-QQ), (1/n \quad nin NN \quad x in QQ):}$ non appartiene a nessuna delle classi da me indicate ma è integrabile secondo Riemann per il motivo che ha detto Lorenzo Pantieri.

[kily2001]

è giusto dire che la condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità secondo Riemann è:

Data $f:[a,b]->R$ limitata, $f$ è integrabile se e solo se:

per ogni $epsilon >0$ esiste una decomposiione di $[a,b]$ detta $Deltaepsilon$ tale che la differenza tra la somma superiore e la somma inferiore relatve a $Deltaepsilon$ sia $< epsilon$ ?

ps: è il risultato di appunti presi frettolosamente!

[giuseppe87x]

Si, è il criterio di integrabilità di Riemann.