Integrale razionale scomposizione

[stranamentemate]

$\int_{}^{} \frac{1}{-3y^2+2y+3}=-\frac{1}{2\sqrt{10}}[\int_{}^{} \frac{1}{y-\frac{1+\sqrt{10}}{3}} dy \int_{}^{} \frac{1}{y-\frac{1-\sqrt{10}}{3}} dy]$

chiaramente è stata utilizzata la formula ridotta
$
\frac{-b/2\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-ac}}{a} ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)$ con x1 e x2 zeri del polinomio

ciò che non mi è chiaro è come salti fuori la costante $-\frac{1}{2\sqrt{10}}$ e soprattutto come ha fatto a determinare il numeratore 1, a me venogno dei calcoli lunghissimi, ma sopratutto dove sia "sparito" l'integrale con il 3 a denominatore $\frac{A}{3}+\frac{B}{{y-\frac{1+\sqrt{10}}{3}}}+\frac{C}{{y-\frac{1-\sqrt{10}}{3}}}$

grazie

[ciampax]

Il $3$ a denominatore? No, ti prego, dimmi che stai scherzando! Se il polinomio a denominatore si decompone come hai scritto, allora
$$\frac{1}{a(x-x_1)(x-x_2)}=\frac{1}{a}\left(\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}\right)$$

[stranamentemate]

Grazie ma non mi è stata molto d'aiuto la risposta, non capisco come determina i numeratori a me vengono calcoli esagerati.comunque a denominatore va -3

[stormy1]

io farei così :
il denominatore si scompone in $-3(y-(1+sqrt10)/3)(y-(1-sqrt10)/3)$
quindi,porterei il $-3$ fuori dall'integrale e mi preoccuperei di scrivere l'integrando rimasto nella forma $A/(y-(1+sqrt10)/3)+B/(y-(1-sqrt10)/3)$

[stranamentemate]

Provo così poi ti faccio sapere

[stranamentemate]

$-\frac{1}{3}\int_{}^{} \frac{A}{y-\frac{1+\sqrt{10}}{3}}+\frac{B}{y-\frac{1-\sqrt{10}}{3}}$


$Ay + By=0$
$A\frac{1-\sqrt{10}}{3}+B\frac{1+\sqrt{10}}{3}=1$

e qui mi blocco


comunque il risultato corretto è: $-\frac{1}{2\sqrt{10}}log|\frac{y-\frac{1-\sqrt{10}}{3}}{y-\frac{1+\sqrt{10}}{3}}|+C$

[stormy1]

la prima equazione ti dice che $A=-B$
la seconda non mi torna:dove sono i $-$ ?

[stranamentemate]

esatto però non saprei continuare con l'uguaglianza della seconda equazione

$Ay + By=0$
$A(-\frac{1-\sqrt{10}}{3})+B(-\frac{1+\sqrt{10}}{3})=1$

$\frac{B}{3}-\frac{B\sqrt{10}}{3}-\frac{B}{3}-\frac{B\sqrt{10}}{3}=1$
$-\frac{2B\sqrt{10}}{3}=1$
$B=-\frac{3}{2\sqrt{10}}$
$A=\frac{3}{2\sqrt{10}}$

ora provo a sostituire

[stranamentemate]

sostituendo...

$-\frac{1}{3}[\int_{}^{} \frac{3}{2\sqrt{10}(y-\frac{1+\sqrt{10}}{3})} dy -\int_{}^{} \frac{3}{2\sqrt{10}(y-\frac{1-\sqrt{10}}{3})} dy]$

raccolgo $\frac{3}{2\sqrt{10}}$

$-\frac{1}{3}[\frac{3}{2\sqrt{10}}\int_{}^{} \frac{1}{(y-\frac{1+\sqrt{10}}{3})} dy -\frac{3}{2\sqrt{10}}\int_{}^{} \frac{1}{(y-\frac{1-\sqrt{10}}{3})} dy]$


per linearità porto fuori la costante moltiplicativa $\frac{3}{2\sqrt{10}}$

$-\frac{1}{3}\frac{3}{2\sqrt{10}}[\int_{}^{} \frac{1}{(y-\frac{1+\sqrt{10}}{3})} dy -\int_{}^{} \frac{1}{(y-\frac{1-\sqrt{10}}{3})} dy]$

e semplificato viene

$-\frac{1}{2\sqrt{10}}[\int_{}^{} \frac{1}{y-\frac{1+\sqrt{10}}{3}} dy -\int_{}^{} \frac{1}{y-\frac{1-\sqrt{10}}{3}} dy]$

giusto no?

[21zuclo]

a colpo d'occhio direi proprio di si!..

ora da qui

"stranamentemate":

$ -\frac{1}{2\sqrt{10}}[\int_{}^{} \frac{1}{y-\frac{1+\sqrt{10}}{3}} dy -\int_{}^{} \frac{1}{y-\frac{1-\sqrt{10}}{3}} dy] $

concludi usando i logaritmi e la proprietà della differenza.. e ti esce fuori il risultato!