Integrale razionale fratto con denominatore di 4 grado
Salve,
dovrei risolvere questo integrale: $ int (3t+5) / (t(1-t)(t^2+t+2)) dt $ ma non ho capito bene quale procedimento adottare per gli integrali di questo tipo.
Premetto che non abbiamo trattato la soluzione di equazioni nè di terzo nè di quarto grado, pertanto non posso sviluppare il denominatore, trovare le soluzioni e poi scomporlo come (x-x1)(x-x2) ecc...
Ho provato a scrivere l'integrale come: $ int ( A/t + B/(1-t) + (Ct+D)/(t^2+t+1) ) dt $ ma il numeratore viene di terzo grado e quindi, eguagliando il numeratore con quello dell'integrale originario, ottengo un sistema con 4 incognite e 3 equazioni.
Come si risolve?
EDIT: Ho provato anche con $ int ( A/t + B/(1-t) + C(2t+1)/(t^2+t+1) ) dt $ in modo da poterli risolvere mediante logaritmo, ma calcolando con Derive (l'esercizio era per un integrale definito) il risultato viene sbagliato. A me viene (ovviamente) solo con logaritmi mentre derive mette un termine in cui usa l'arcotangente .....
dovrei risolvere questo integrale: $ int (3t+5) / (t(1-t)(t^2+t+2)) dt $ ma non ho capito bene quale procedimento adottare per gli integrali di questo tipo.
Premetto che non abbiamo trattato la soluzione di equazioni nè di terzo nè di quarto grado, pertanto non posso sviluppare il denominatore, trovare le soluzioni e poi scomporlo come (x-x1)(x-x2) ecc...
Ho provato a scrivere l'integrale come: $ int ( A/t + B/(1-t) + (Ct+D)/(t^2+t+1) ) dt $ ma il numeratore viene di terzo grado e quindi, eguagliando il numeratore con quello dell'integrale originario, ottengo un sistema con 4 incognite e 3 equazioni.
Come si risolve?
EDIT: Ho provato anche con $ int ( A/t + B/(1-t) + C(2t+1)/(t^2+t+1) ) dt $ in modo da poterli risolvere mediante logaritmo, ma calcolando con Derive (l'esercizio era per un integrale definito) il risultato viene sbagliato. A me viene (ovviamente) solo con logaritmi mentre derive mette un termine in cui usa l'arcotangente .....
Risposte
Il denominatore è già fattorizzato, certo non andrei a sviluppare i prodotti 
; il termine di secondo grado $ t^2+t+2 $ è irriducibile ( nel campo reale ), infatti il $Delta $ del trinomio è $<0 $ , quindi lo devi tenere così.
La scomposizione che hai fatto $A/t+B/(1-t)+(Ct+D)/(x^2+x+2) $ è corretta.
Non è corretto il ragionamento che fai dopo, il denominatore è di quarto grado certo ma questo non c'entra nulla.
Adesso devi svolgere i calcoli [ cioè $A/t+B/(1-t)+(Ct+D)/(x^2+x+2) = (3t+5)/((t(t-1)(t^2+t+2))$ ] e otterrai un numeratore di terzo grado che devi eguagliare al " vecchio numeratore" cioè a $3t+5$.
Per trovare le incognite $A,B,C,D$ devi imporre la condizione che i due polinomi siano identici per ogni valore di $t $, cioè a dire che :
*il coefficiente del termine di terzo grado ( che sarà in generale funzione di $A,B,C,D $ deve essere $ 0 $ perchè $ 3t+5 $ non ha termine di terzo grado
*il coeff del termine di secondo grado (etc etc ) deve essere $0 $ perchè $3t+5$ non ha termine di secondo grado
* il coeff del termine di primo grado invece deve essere $ 3 $ perchè ..ovvio no ?
*il termine noto deve essere $ 5 $ , chiaro ?
Dunque hai 4 equaz e 4 incognite.
Facendo i conti otterrai che la decomposizione in fratti semplici è :
$ -5/(2t)+2/(t-1)+ (t+3)/(2(t^2+t+2)) $.
Adesso il primo e secondo termine sono integrabili in modo immediato, il terzo richiede ancora elaborazione .
Consideriamo allora l'ultimo termine $ (t+3)/(t^2+t+2) $ - ho per ora trascurato il fattore moltiplicativo $1/2 $ che poi dovrai aggiungere al risultato .
Ci piacerebbe che al numeratore ci fosse la derivata del denominatore cioè $2t+1 $ e allora facciamo in modo che ci sia, più naturalemnte qualcosaltro..
$t+3 = A(2t+1)+B $ da cui :
$t=2At $
$ 3=A+B$
e finalmente : $A= 1/2; B= 5/2 $ .
Quindi $ (t+3)/(t^2+t+2) =( 1/2) (2t+1)/(t^2+t+2) +(5/2) *1/(t^2+t+2) $
L'integrazione del primo addendo è immediata $ ln(....) $ , ovvio no ? , l'abbiamo costruita perchè venisse , il secondo elemento che darà luogo una volta integrato alla funzione $arctg(.. ) $ richiede altre considerazioni.
; il termine di secondo grado $ t^2+t+2 $ è irriducibile ( nel campo reale ), infatti il $Delta $ del trinomio è $<0 $ , quindi lo devi tenere così.La scomposizione che hai fatto $A/t+B/(1-t)+(Ct+D)/(x^2+x+2) $ è corretta.
Non è corretto il ragionamento che fai dopo, il denominatore è di quarto grado certo ma questo non c'entra nulla.
Adesso devi svolgere i calcoli [ cioè $A/t+B/(1-t)+(Ct+D)/(x^2+x+2) = (3t+5)/((t(t-1)(t^2+t+2))$ ] e otterrai un numeratore di terzo grado che devi eguagliare al " vecchio numeratore" cioè a $3t+5$.
Per trovare le incognite $A,B,C,D$ devi imporre la condizione che i due polinomi siano identici per ogni valore di $t $, cioè a dire che :
*il coefficiente del termine di terzo grado ( che sarà in generale funzione di $A,B,C,D $ deve essere $ 0 $ perchè $ 3t+5 $ non ha termine di terzo grado
*il coeff del termine di secondo grado (etc etc ) deve essere $0 $ perchè $3t+5$ non ha termine di secondo grado
* il coeff del termine di primo grado invece deve essere $ 3 $ perchè ..ovvio no ?
*il termine noto deve essere $ 5 $ , chiaro ?
Dunque hai 4 equaz e 4 incognite.
Facendo i conti otterrai che la decomposizione in fratti semplici è :
$ -5/(2t)+2/(t-1)+ (t+3)/(2(t^2+t+2)) $.
Adesso il primo e secondo termine sono integrabili in modo immediato, il terzo richiede ancora elaborazione .
Consideriamo allora l'ultimo termine $ (t+3)/(t^2+t+2) $ - ho per ora trascurato il fattore moltiplicativo $1/2 $ che poi dovrai aggiungere al risultato .
Ci piacerebbe che al numeratore ci fosse la derivata del denominatore cioè $2t+1 $ e allora facciamo in modo che ci sia, più naturalemnte qualcosaltro..
$t+3 = A(2t+1)+B $ da cui :
$t=2At $
$ 3=A+B$
e finalmente : $A= 1/2; B= 5/2 $ .
Quindi $ (t+3)/(t^2+t+2) =( 1/2) (2t+1)/(t^2+t+2) +(5/2) *1/(t^2+t+2) $
L'integrazione del primo addendo è immediata $ ln(....) $ , ovvio no ? , l'abbiamo costruita perchè venisse , il secondo elemento che darà luogo una volta integrato alla funzione $arctg(.. ) $ richiede altre considerazioni.
Rssta dunque da trattare il termine $ 1/(t^2+t+2) $ , poi sistemerai il coefficiente $5/2$.
Il denominatore è un trinomio con $Delta < 0 $ e quindi come ricorderai è sempre positivo.
Allora posso scrivere il trinomio come somma di due quadrati.Come li determino ?
Cerco di far apparire il quadrato $( t+1/2)^2 $ che sviluppato dà : $ t^2+t+1/4 $ quindi il primo e secondo termine coincidono ma devo aggiungere $7/4 $ per arrivare a $ 1 $ , quindi
$ t^2+t+2= (t+1/2)^2+ 7/4$ che riscrivo come $(7/4) [ 1+(1+t/2)^2/(4/7) ]$ ; adesso con ancora un po' di pazienza arriverai a trovare la primitiva che coinvolge senz'altro $arctg $ , ricordando che $int dt/(1+t^2)= arctg t +C $ .
In questo caso non hai solo $t $ lma una funzione composta e quindi bisogna lavorarci un po...
Il denominatore è un trinomio con $Delta < 0 $ e quindi come ricorderai è sempre positivo.
Allora posso scrivere il trinomio come somma di due quadrati.Come li determino ?
Cerco di far apparire il quadrato $( t+1/2)^2 $ che sviluppato dà : $ t^2+t+1/4 $ quindi il primo e secondo termine coincidono ma devo aggiungere $7/4 $ per arrivare a $ 1 $ , quindi
$ t^2+t+2= (t+1/2)^2+ 7/4$ che riscrivo come $(7/4) [ 1+(1+t/2)^2/(4/7) ]$ ; adesso con ancora un po' di pazienza arriverai a trovare la primitiva che coinvolge senz'altro $arctg $ , ricordando che $int dt/(1+t^2)= arctg t +C $ .
In questo caso non hai solo $t $ lma una funzione composta e quindi bisogna lavorarci un po...
Ti ringrazio per le risposte molto esaustive che mi hai dato. Mi cimento subito nel risolvere l'esercizio 
Questa è un'altra cosa che non ho capito. Cioè come faccio a sapere a priori quante incognite devo mettere nel numeratore? Perchè poi quando sviluppo ed eguaglio i numeratori devo ottenere un sistema che ha un numero di equazioni uguale al numero delle incognite, perchè se ha più equazioni che incognite rischia di essere impossibile mentre se ha meno equazioni che incognite non si può risolvere.
Mi spiego meglio.
Se io ho $ (x+2) / ((x^2+x+3)(x-2)) $ e lo pongo $ = (A/(x^2+x+3)) + (B/(x-2)) = (A(x-2)+B(x^2+x+3)) /((x^2+x+3)(x-2)) = (Ax-2A+Bx^2+Bx+3B) / ((x^2+x+3)(x-2))$
Ora eguaglio i numeratori e ottengo il sistema
$B=0$ (non c'è termine di 2 grado nel numeratore originario)
$A+B=1$
$-2A+3B = 2$
Ponendo B=0 nella seconda ottengo $A=1$, ma a questo punto la terza diventa $-2(1)+3(0)=-2 != 2$ e quindi è impossibile. Se invece avessi messo 3 incognite, ovvero avessi posto:
$ (x+2) / ((x^2+x+3)(x-2)) = ((Ax+B)/(x^2+x+3)) + (C/(x-2))$ sarei riuscito a risolvere il sistema.
Come faccio a sapere a priori quante incognite mettere al numeratore?
Devo avere un numero delle incognite pari al numero delle soluzioni del denominatore (quello che pensavo all'inizio), mi basta porre un incognita nel caso il denominatore sia di 1 grado, 2 incognite nella forma Ax+B se il denominatore è di secondo grado, 3 nella forma Ax^2+Bx+C se di terzo grado, ecc..... (che poi in un certo senso sarebbe come prima ...) ?
"Camillo":
Non è corretto il ragionamento che fai dopo, il denominatore è di quarto grado certo ma questo non c'entra nulla.
Questa è un'altra cosa che non ho capito. Cioè come faccio a sapere a priori quante incognite devo mettere nel numeratore? Perchè poi quando sviluppo ed eguaglio i numeratori devo ottenere un sistema che ha un numero di equazioni uguale al numero delle incognite, perchè se ha più equazioni che incognite rischia di essere impossibile mentre se ha meno equazioni che incognite non si può risolvere.
Mi spiego meglio.
Se io ho $ (x+2) / ((x^2+x+3)(x-2)) $ e lo pongo $ = (A/(x^2+x+3)) + (B/(x-2)) = (A(x-2)+B(x^2+x+3)) /((x^2+x+3)(x-2)) = (Ax-2A+Bx^2+Bx+3B) / ((x^2+x+3)(x-2))$
Ora eguaglio i numeratori e ottengo il sistema
$B=0$ (non c'è termine di 2 grado nel numeratore originario)
$A+B=1$
$-2A+3B = 2$
Ponendo B=0 nella seconda ottengo $A=1$, ma a questo punto la terza diventa $-2(1)+3(0)=-2 != 2$ e quindi è impossibile. Se invece avessi messo 3 incognite, ovvero avessi posto:
$ (x+2) / ((x^2+x+3)(x-2)) = ((Ax+B)/(x^2+x+3)) + (C/(x-2))$ sarei riuscito a risolvere il sistema.
Come faccio a sapere a priori quante incognite mettere al numeratore?
Devo avere un numero delle incognite pari al numero delle soluzioni del denominatore (quello che pensavo all'inizio), mi basta porre un incognita nel caso il denominatore sia di 1 grado, 2 incognite nella forma Ax+B se il denominatore è di secondo grado, 3 nella forma Ax^2+Bx+C se di terzo grado, ecc..... (che poi in un certo senso sarebbe come prima ...) ?
Se il denominatore è di secondo grado , al numeratore metti un polinomio di primo grado tipo $Ax+B $.
ti ringrazio .... purtroppo l'esercizio ancora non mi riesce .... lo pubblico sperando che qualcuno mi aiuti ....
$ int_(4)^(9) (3sqrt(x)+5)/(sqrt(x)(1-sqrt(x)) (x+sqrt(x)+2)) dx $
Secondo il libro il risultato è $ 2(-2log2+log13-log7) $
Io ho applicato la sostituzione $ sqrt(x) = t $ ottenendo il nuovo integrale $ int_(2)^(3) ((3t+5)(2t))/(t(1-t)(t^2+t+2)) dt $. A questo punto l'ho risolto anche con le indicazioni che mi ha dato sopra Camillo e le primitive di questo mi sono venute $ 4log|1-t|+2log|t^2+t+2|+cost $ (l'integrale del primo post era diverso).
Ora calcolando una primitiva da 2 a 3 mi viene $4log2+2log14-4log1-2log8 = 2(2log2+log14-log8) $ e quindi sbagliato.
Ho provato a farlo con Derive e gli viene $2ln(7/16)$ e quindi diverso sia dal mio che dal libro.
Infatti dal risultato mio, applicando le proprietà dei logaritmi, viene $ 2(2log2+log14-log8) = 2(log4+log14-log8) = 2(log(4*14)-log8) = 2(log((4*14)/8)) = 2ln(7) $
Dal risultato del libro, applicando le proprietà dei logaritmi, viene $ 2(-2log2+log13-log7) = 2(log(1/4)+log13 -log7) = 2(log(13/4) - log7) = 2log(13/28)$
Come si fa? Qualcuno può dirmi dove sbaglio?
EDIT: l'esercizio l'ho preso da qua capitolo 5 esercizio b
$ int_(4)^(9) (3sqrt(x)+5)/(sqrt(x)(1-sqrt(x)) (x+sqrt(x)+2)) dx $
Secondo il libro il risultato è $ 2(-2log2+log13-log7) $
Io ho applicato la sostituzione $ sqrt(x) = t $ ottenendo il nuovo integrale $ int_(2)^(3) ((3t+5)(2t))/(t(1-t)(t^2+t+2)) dt $. A questo punto l'ho risolto anche con le indicazioni che mi ha dato sopra Camillo e le primitive di questo mi sono venute $ 4log|1-t|+2log|t^2+t+2|+cost $ (l'integrale del primo post era diverso).
Ora calcolando una primitiva da 2 a 3 mi viene $4log2+2log14-4log1-2log8 = 2(2log2+log14-log8) $ e quindi sbagliato.
Ho provato a farlo con Derive e gli viene $2ln(7/16)$ e quindi diverso sia dal mio che dal libro.
Infatti dal risultato mio, applicando le proprietà dei logaritmi, viene $ 2(2log2+log14-log8) = 2(log4+log14-log8) = 2(log(4*14)-log8) = 2(log((4*14)/8)) = 2ln(7) $
Dal risultato del libro, applicando le proprietà dei logaritmi, viene $ 2(-2log2+log13-log7) = 2(log(1/4)+log13 -log7) = 2(log(13/4) - log7) = 2log(13/28)$
Come si fa? Qualcuno può dirmi dove sbaglio?
EDIT: l'esercizio l'ho preso da qua capitolo 5 esercizio b
Ma $cos t$ da dov'è uscito fuori?
EDIT: scusami, avevo capito fosse il coseno
, ma immagino tu intenda "costante"
Comunque, ora leggo, vedo se posso aiutarti.
EDIT: scusami, avevo capito fosse il coseno
, ma immagino tu intenda "costante" Comunque, ora leggo, vedo se posso aiutarti.
Ho calcolato la primitiva e mi viene la stessa tua.
"Antimius":
Ma $cos t$ da dov'è uscito fuori?
EDIT: scusami, avevo capito fosse il coseno
Si è costante, non avevo pensato che potesse creare confusione
"Antimius":
Ho calcolato la primitiva e mi viene la stessa tua.
Grazie dell'aiuto ... quello che più mi stranisce è il risultato di Derive ... perchè magari il risultato della dispensa è sbagliato ma non credo che Derive possa sbagliare tanto facilmente .... a Derive la primitiva viene invece
$ 2ln( (x+sqrt(x)+2) / (sqrt(x)-1)^2 ) $ ovvero in t sarebbe $ 2ln( (t^2+t+2) / (t-1)^2 ) $ mentre la mia primitiva era $ 4*log|1-t|+2*log|t^2+t+2| = 2*(log(1-t)^2 + log(t^2+t+2))$
E' come se Derive avesse invertito quell' $1-t$ dentro il logaritmo scrivendo $t-1$ e mettendo un meno fuori .... non so se si possa fare e comunque non vedo il motivo di portare il meno fuori dato che c'è il quadrato dentro e quindi invertendo l'ordine non dovrebbe cambiare niente ..... però il risultato gli viene diverso quindi non so .....
Ah, ehm, infatti, ora che ho visto bene, mi ero scordato un segno
Praticamente, il fatto è che la derivata di $1-t$ è $-1$, quindi viene il segno invertito davanti a $2log(1-t)^2$.
Praticamente, il fatto è che la derivata di $1-t$ è $-1$, quindi viene il segno invertito davanti a $2log(1-t)^2$.
In sostanza, [tex]$\int \frac{1}{1-t}dt=-\int \frac{-1}{1-t}dt=-\int \frac{D(1-t)}{1-t}dt$[/tex].
Scusa se ho voluto specificare, ma non so se sono stato abbastanza chiaro nel post precedente.
Scusa se ho voluto specificare, ma non so se sono stato abbastanza chiaro nel post precedente.
ah, ecco cosa avevo sbagliato quindi il risultato del libro è errato .... grazie ancora
quindi il risultato del libro è errato .... grazie ancora
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