Integrale razionale fratto
Ciao a tutti,sto avendo difficoltà con l'integrazione di questa simpatica frazione :
$ int (8e^(2x))/(x^2 -6x -7) dx$
E' inutile provare il metodo di sostituzione, ho provato ad applicare la formula di integrazione per parti del tipo :
$ int (8e^(2x)) * ((x^2 -6x -7)^-1) $
Ma è inutile perchè non si arriva da nessuna parte.
Ho provato a scomporre il denominatore che diventa
$ (x - 3 + sqrt(2)) * (x - 3 - sqrt(2)) $
per poter utilizzare la regola di A e B, solo che effettivamente il numeratore presenta un esponenziale ^x e non so come comportarmi di conseguenza.
Potreste darmi una mano per capire meglio cosa fare?Premetto che ho già cercato in lungo e in largo su google
Vi ringrazio in anticipo.
$ int (8e^(2x))/(x^2 -6x -7) dx$
E' inutile provare il metodo di sostituzione, ho provato ad applicare la formula di integrazione per parti del tipo :
$ int (8e^(2x)) * ((x^2 -6x -7)^-1) $
Ma è inutile perchè non si arriva da nessuna parte.
Ho provato a scomporre il denominatore che diventa
$ (x - 3 + sqrt(2)) * (x - 3 - sqrt(2)) $
per poter utilizzare la regola di A e B, solo che effettivamente il numeratore presenta un esponenziale ^x e non so come comportarmi di conseguenza.
Potreste darmi una mano per capire meglio cosa fare?Premetto che ho già cercato in lungo e in largo su google
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Quell'integrale indefinito non ha un'espressione elementare.
Sei sicuro che il testo dell'esercizio ti chieda di calcolare l'integrale indefinito?
Sei sicuro che il testo dell'esercizio ti chieda di calcolare l'integrale indefinito?
Si, mi chiede di calcolare un integrale indefinito.Fa parte di un esercizio di equazione differenziale.
Per favore, c'è qualcuno che riesce a farmi capire quale strada devo prendere per poter integrare quella frazione?E' importante (avendo a breve un esame)
Te l'ho già detto: l'integrale indefinito non si può calcolare.
Quell'integrando non ha alcuna primitiva dotata d'espressione elementare.
Prova a postare il testo dell'esercizio, può darsi che c'è qualche problema nella traccia o nello svolgimento.
Quell'integrando non ha alcuna primitiva dotata d'espressione elementare.
Prova a postare il testo dell'esercizio, può darsi che c'è qualche problema nella traccia o nello svolgimento.
E' un esercizio di equazione differenziale, eccolo quà :
$ y'(x) = 2y(x) + (8e^2x)/(x^2-6x-7) $
Dovrei eseguire l'integrale di
$ (8e^2x)/(x^2-6x-7) $
per poter risolvere l'esercizio no?
$ y'(x) = 2y(x) + (8e^2x)/(x^2-6x-7) $
Dovrei eseguire l'integrale di
$ (8e^2x)/(x^2-6x-7) $
per poter risolvere l'esercizio no?
Se non ho capito male, l'equazione differenziale è:
$y'(x)= 2y(x)+8e^(2x)/(x^2-6x-7)$
è un'equazione differenziale del primo ordine a coefficienti costanti non omogenea:
La famiglia di soluzioni soddisfacente l'equazione è:
$e^(\int 2 dx)(C +\int (8e^(2x))/(x^2-6x-7) e^(-\int 2dx) dx)$
Ora $e^(\int 2 dx)$ è immediato.
$\int (8e^(2x))/(x^2-6x-7) e^(-\int 2dx) dx$ se esegui per bene i conti si semplificano un po' di cose e quindi l'integrale diventa pressochè una formalità
Prova e fammi sapere.
$y'(x)= 2y(x)+8e^(2x)/(x^2-6x-7)$
è un'equazione differenziale del primo ordine a coefficienti costanti non omogenea:
La famiglia di soluzioni soddisfacente l'equazione è:
$e^(\int 2 dx)(C +\int (8e^(2x))/(x^2-6x-7) e^(-\int 2dx) dx)$
Ora $e^(\int 2 dx)$ è immediato.
$\int (8e^(2x))/(x^2-6x-7) e^(-\int 2dx) dx$ se esegui per bene i conti si semplificano un po' di cose e quindi l'integrale diventa pressochè una formalità
Prova e fammi sapere.
Ecco... Lo sapevo che c'era la magagna. 
Più attenzione nei conti.
Più attenzione nei conti.
Grazie mille, in effetti stavo sbagliando con il segno.
Sommavo l'esponente al posto di sottrarlo.
Ora effettivamente si è semplificato :
$ (8)/(x^2-6x-7) $
Scompongo il denominatore e diventa :
$ 8 int (A)/(x-3+sqrt(2)) + (B)/(x-3-sqrt(2)) $
Sommo le due frazioni, e come risultato ho :
$ x(A+B) +A(-3 - sqrt(2)) + B(-3 + sqrt(2)) $
Ora , A+B è uguale a 0 , ma
$ A(-3 + sqrt(2)) + B(-3 - sqrt(2)) $
deve essere uguale ad 1
quindi pongo
$ A = -(sqrt(2))/(4) B=(sqrt(2))/(4) $
come risultato dell'integrale ho :
$ -2*sqrt(2)*ln(x-3+sqrt(2)) +2*sqrt(2)*ln(x-3-sqrt(2)) $
giusto?
Sommavo l'esponente al posto di sottrarlo.
Ora effettivamente si è semplificato :
$ (8)/(x^2-6x-7) $
Scompongo il denominatore e diventa :
$ 8 int (A)/(x-3+sqrt(2)) + (B)/(x-3-sqrt(2)) $
Sommo le due frazioni, e come risultato ho :
$ x(A+B) +A(-3 - sqrt(2)) + B(-3 + sqrt(2)) $
Ora , A+B è uguale a 0 , ma
$ A(-3 + sqrt(2)) + B(-3 - sqrt(2)) $
deve essere uguale ad 1
quindi pongo
$ A = -(sqrt(2))/(4) B=(sqrt(2))/(4) $
come risultato dell'integrale ho :
$ -2*sqrt(2)*ln(x-3+sqrt(2)) +2*sqrt(2)*ln(x-3-sqrt(2)) $
giusto?
Probabilmente hai scomposto $x^2-6x+7$, in realtà:
$x^2-6x-7= (x-7)(x+1)$
$x^2-6x-7= (x-7)(x+1)$
Hai ragione anche su questo..scusa ma sono al lavoro ed effettivamente ho fatto le cose troppo di fretta..
In ogni caso ormai ho capito qunidi grazie
In ogni caso ormai ho capito qunidi grazie
Non preoccuparti, l'importante è aver capito 
. In bocca al lupo
. In bocca al lupo
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