Integrale "misterioso"
salve a tutti e bentrovati!
prendiamo la funzione $f(x)=sqrt(1-sinx)$ e supponiamo di voler calcolare $int_(-pi/2)^(pi/2)f(x)dx$ Allora basterebbe operare la sostituzione $x=phi(t)=arcsint$ e si avrebbe
$int_(-pi/2)^(pi/2)f(x)dx=int_sin(-pi/2)^sin(pi/2)f(phi(t))phi'(t)dt=...=int_-1^1 1/sqrt(1+t)dt=2[sqrt(1+t)]_(t=-1) ^(t=1)=2sqrt2$. E fino a qui ci siamo.
Se invece volessi calcolare lo stesso integrale su un periodo, ad esempio $[a,a+2pi]$, mi ritroverei nel caso in cui, dopo la sostituzione, gli estremi di integrazione coincidonoe quindi l'integrale farà sempre zero. Questo non può essere vero perchè la funzione f(x) è sempre positiva e il suo integrale su un intervallo deve essere sempre maggiore di zero. D'altra parte mi accorgo che preso un intervallo del tipo $[a,a+2pi]$ questo non può mai appartenere all'immagine della funzione arcoseno.
Si potrebbe ovviare a tale inconveniente, credo, facendo, ad esempio $int_0 ^(2pi)f(x)dx=int_0 ^sin(pi/2) f(phi(t))phi'(t)dt + int_(psi^(-1)(pi/2)) ^(psi^(-1)(3/2pi))f(psi(t))psi'(t)dt + $ ecc
con $psi(t)=pi-arcsint
ma questo non è importante; la cosa che mi interessa sapere è se io faccio il calcolo della primitiva con derive mi tira fuori una funzione "meravigliosamente" continua che è la somma della primitiva che ho trovato io + una funzione parte intera di qualcosa
Ebbene, la domanda è (sempre la stessa ahinoi
) come si calcola la primitiva di questa funzione? Come sbuca fuori dai calcoli questa funzione parte intera? C'è un qualche testo o un qualche sito che parla di questo argomento ? Qualcuno potrebbe farmi vedere il procedimento?
Spero non ne sia già stato parlato su questo forum, non ho controllato.
Grazie anticipatamente.
prendiamo la funzione $f(x)=sqrt(1-sinx)$ e supponiamo di voler calcolare $int_(-pi/2)^(pi/2)f(x)dx$ Allora basterebbe operare la sostituzione $x=phi(t)=arcsint$ e si avrebbe
$int_(-pi/2)^(pi/2)f(x)dx=int_sin(-pi/2)^sin(pi/2)f(phi(t))phi'(t)dt=...=int_-1^1 1/sqrt(1+t)dt=2[sqrt(1+t)]_(t=-1) ^(t=1)=2sqrt2$. E fino a qui ci siamo.
Se invece volessi calcolare lo stesso integrale su un periodo, ad esempio $[a,a+2pi]$, mi ritroverei nel caso in cui, dopo la sostituzione, gli estremi di integrazione coincidonoe quindi l'integrale farà sempre zero. Questo non può essere vero perchè la funzione f(x) è sempre positiva e il suo integrale su un intervallo deve essere sempre maggiore di zero. D'altra parte mi accorgo che preso un intervallo del tipo $[a,a+2pi]$ questo non può mai appartenere all'immagine della funzione arcoseno.
Si potrebbe ovviare a tale inconveniente, credo, facendo, ad esempio $int_0 ^(2pi)f(x)dx=int_0 ^sin(pi/2) f(phi(t))phi'(t)dt + int_(psi^(-1)(pi/2)) ^(psi^(-1)(3/2pi))f(psi(t))psi'(t)dt + $ ecc
con $psi(t)=pi-arcsint
ma questo non è importante; la cosa che mi interessa sapere è se io faccio il calcolo della primitiva con derive mi tira fuori una funzione "meravigliosamente" continua che è la somma della primitiva che ho trovato io + una funzione parte intera di qualcosa
Ebbene, la domanda è (sempre la stessa ahinoi
) come si calcola la primitiva di questa funzione? Come sbuca fuori dai calcoli questa funzione parte intera? C'è un qualche testo o un qualche sito che parla di questo argomento ? Qualcuno potrebbe farmi vedere il procedimento?Spero non ne sia già stato parlato su questo forum, non ho controllato.
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao! Ogni tanto ci si rilegge 
L'errore è dovuto al fatto che non è soddisfatta l'invertibilità della funzione che si usa per la sostituzione.
Spesso ci si dimentica che si sta integrando su un intervallo. Per cui magari (per alti tipi di problemi) può venir fuori la brillante soluzione che l'integrale fra 0 e pigreco della tangente fa 0.
Tornando alla specifica questione (la seconda parte del tuo post), visto che c'è di mezzo una funzione periodica (il cui integrale sul periodo non è nullo, come avviene per seno e coseno) io farei i conti così (dovendo calcolare un integrale da a a b):
- mi trovo un periodo, diciamo T
- mi calcolo l'integrale da a fino ad a+T. Diciamo che vale U
- poi vado avanti aggiungendo U tante volte (diciamo k) fintantoché non posso procedere senza superate b
- tra a+kT e b mi calcolo l'integrale sullo spezzone di periodo, il cui valore chiamo V
Il mio integrale vale kU+V
s.e.o.
L'errore è dovuto al fatto che non è soddisfatta l'invertibilità della funzione che si usa per la sostituzione.
Spesso ci si dimentica che si sta integrando su un intervallo. Per cui magari (per alti tipi di problemi) può venir fuori la brillante soluzione che l'integrale fra 0 e pigreco della tangente fa 0.
Tornando alla specifica questione (la seconda parte del tuo post), visto che c'è di mezzo una funzione periodica (il cui integrale sul periodo non è nullo, come avviene per seno e coseno) io farei i conti così (dovendo calcolare un integrale da a a b):
- mi trovo un periodo, diciamo T
- mi calcolo l'integrale da a fino ad a+T. Diciamo che vale U
- poi vado avanti aggiungendo U tante volte (diciamo k) fintantoché non posso procedere senza superate b
- tra a+kT e b mi calcolo l'integrale sullo spezzone di periodo, il cui valore chiamo V
Il mio integrale vale kU+V
s.e.o.
Ciao! E' sempre un piacere!!
Non capisco.. con la tecnica che mi suggerisci tu rimane sempre il problema di trovare una primitiva continua in un intervallo che contiene il periodo...............
Non capisco.. con la tecnica che mi suggerisci tu rimane sempre il problema di trovare una primitiva continua in un intervallo che contiene il periodo...............
"NOKKIAN80":
Non capisco.. con la tecnica che mi suggerisci tu rimane sempre il problema di trovare una primitiva continua in un intervallo che contiene il periodo...............
Beh, i miracoli a dopo!
Non so se questo è il problema: a te basta trovare una primitiva su un intervallo di ampiezza T, dove T è un periodo. Non capisco come tu possa pretendere di poter fare a meno di questo. O non ho capito qualcosa...
come non detto! mi stupiva (e fuorviava) il fatto che derive tira fuori $int sqrt(1-sinx)dx=2cosx/sqrt(1 - sinx) - 4sqrt2 *\text{floor}(1/4 - x/(2pi))$ il che, pensandoci bene, mi sembra più un artificio computazionale che qualcosa di utile da mettere nella pratica.
in effetti nel tuo procedimento, basta prendere $T=pi
in effetti nel tuo procedimento, basta prendere $T=pi
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