Integrale pseudo-sbagliato!
Ciao a tutti,
ho svolto un integrale di una funzione razionale, il risultato non viene come il libro ma riguardando i passaggi non riesco a trovare alcun errore.
L'integrale è il seguente (compreso di passaggi):
$int (x^3 +2)/(x^2 +1) = int x^3/(x^2 +1) +2/(x^2 +1) = 2arctg(x) + int x^3/(x^2 +1) = 2arctg(x) + int (x^2(x))/(x^2(1 + 1/x^2)) = 2arctg(x) + (x^2)/2 int (2x)/(x^2 +1) = 2arctg(x) + (x^2)/2 log |x^2 +1| +c$
il libro lo da come:
$2arctg(x) + (x^2)/2 - 1/2log (x^2 +1) +c$
La soluzione esatta è quella del libro ma io non riesco a trovare l'errore nella mia...
Ringrazio tutti in anticipo,
ciao.
ho svolto un integrale di una funzione razionale, il risultato non viene come il libro ma riguardando i passaggi non riesco a trovare alcun errore.
L'integrale è il seguente (compreso di passaggi):
$int (x^3 +2)/(x^2 +1) = int x^3/(x^2 +1) +2/(x^2 +1) = 2arctg(x) + int x^3/(x^2 +1) = 2arctg(x) + int (x^2(x))/(x^2(1 + 1/x^2)) = 2arctg(x) + (x^2)/2 int (2x)/(x^2 +1) = 2arctg(x) + (x^2)/2 log |x^2 +1| +c$
il libro lo da come:
$2arctg(x) + (x^2)/2 - 1/2log (x^2 +1) +c$
La soluzione esatta è quella del libro ma io non riesco a trovare l'errore nella mia...
Ringrazio tutti in anticipo,
ciao.
Risposte
"materions":
$ int x^3/(x^2 +1) = int (x^2(x))/(x^2(1 + 1/x^2)) = (x^2)/2 int (2x)/(x^2 +1) $
il libro lo da come:
$2arctg(x) + (x^2)/2 - 1/2log (x^2 +1) +c$
Potresti spiegare che cosa hai fatto qui?
per fare il secondo itegrale devi prima scomporre
$x^3/(x^2+1)=x-x/(x^2+1)$
così ottieni
$int x^3/(x^2+1)=int x-int x/(x^2+1)=x^2/2-1/2log(x^2+1)+C$
$x^3/(x^2+1)=x-x/(x^2+1)$
così ottieni
$int x^3/(x^2+1)=int x-int x/(x^2+1)=x^2/2-1/2log(x^2+1)+C$
secondo me c'è un errore che nel passaggio che ha segnalato anche pulcepelosa... cioè come fai a trovarti quella x^2 fuori dall'integrale?
non puoi tirarla fuori dato che l'integrale è in dx e quindi la x te la devi calcolare prima... non la puoi considerare una costante...
cioè io da quel passaggio capisco che hai considerato la x come una costante... però non l'ho guardato bene tutto l'esercizio...
non puoi tirarla fuori dato che l'integrale è in dx e quindi la x te la devi calcolare prima... non la puoi considerare una costante...
cioè io da quel passaggio capisco che hai considerato la x come una costante... però non l'ho guardato bene tutto l'esercizio...
"Cler":
$int x/(x^2-1)$
Ciao scusa, mi faresti vedere come svolgi questo? Sono andato in palla..
Grazie 1000!
Grazie Cler,
la tua risposta è stata molto esauriente.
Graqzie a tutti,
ciao.
la tua risposta è stata molto esauriente.
Graqzie a tutti,
ciao.
"Cler":
per fare il secondo itegrale devi prima scomporre
$x^3/(x^2-1)=x-x/(x^2-1)$
così ottieni
$int x^3/(x^2-1)=int x-int x/(x^2-1)=x^2/2-1/2log(x^2+1)+C$
C'è un errore, anche se probabilmente è di battitura perchè il risultato è corretto cmq.
La scomposizione corretta è :
$x- x/(x^2+1)= x^3/(x^2+1)$
"Cler":
per fare il secondo itegrale devi prima scomporre
$x^3/(x^2+1)=x-x/(x^2+1)$
così ottieni
$int x^3/(x^2+1)=int x-int x/(x^2+1)=x^2/2-1/2log(x^2+1)+C$
La scomposizione era
$x^3/(x^2-1)=x + x/(x^2-1)$
Giusto?
"Giova411":
[quote="Cler"]per fare il secondo itegrale devi prima scomporre
$x^3/(x^2+1)=x-x/(x^2+1)$
così ottieni
$int x^3/(x^2+1)=int x-int x/(x^2+1)=x^2/2-1/2log(x^2+1)+C$
La scomposizione era
$x^3/(x^2-1)=x + x/(x^2-1)$
Giusto?[/quote]
è giusto se l'integrale iniziale avesse il - al denominatore, siccome la traccia dice che è +, la sostituzione è quella scritta prima da me
prima di tutto scusate ma ho sbagliato a digitare i segni del denominatore.
la derivata del denominatore è $2x$ quindi per averla al numeratore moltiplico e divido per 2.
$int 2x/(2(x^2+1))=1/2int 2x/(x^2+1)$
a questo punto applico la formula di integrazione del logaritmo.
$int (f'(x))/f(x)=log|f(x)|+C$ poi siccome $x^2+1$ è positivo tolgo il valore assoluto.
la derivata del denominatore è $2x$ quindi per averla al numeratore moltiplico e divido per 2.
$int 2x/(2(x^2+1))=1/2int 2x/(x^2+1)$
a questo punto applico la formula di integrazione del logaritmo.
$int (f'(x))/f(x)=log|f(x)|+C$ poi siccome $x^2+1$ è positivo tolgo il valore assoluto.
Si ok, ora è chiaro mi ero perso per quel segnetto scritto male. Grazie, ci sono ora!
E' tutto esatto. Il problema derivava dall'errore sul segno del denominatore iniziale.
Il procedimento è pulito e corretto.
Il procedimento è pulito e corretto.
"spassky":
E' tutto esatto. Il problema derivava dall'errore sul segno del denominatore iniziale.
Il procedimento è pulito e corretto.
ok, scusatemi per quel segno...starò più attenta!!!
"Cler":
ok, scusatemi per quel segno...starò più attenta!!!
Figurati Cler!
Anzi, grazie!
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