Integrale problematico (da testo di esame)
ciao a tutti, ho dato l'esame di analisi lunedì e domani dovrò dare l'orale... 
cmq non demordo, ma nello scritto non sono riuscita a risolvere questo integrale (ho agito per parti anche invertendo f' e g, ma in entrambi i casi i calcoli si prolungano all'infinito...):
$int e^-x cos2x dx$
grazie a chi mi spiegherà come risolverlo..
cmq non demordo, ma nello scritto non sono riuscita a risolvere questo integrale (ho agito per parti anche invertendo f' e g, ma in entrambi i casi i calcoli si prolungano all'infinito...):
$int e^-x cos2x dx$
grazie a chi mi spiegherà come risolverlo..
Risposte
E' abbastanza semplice; fai due volte per parti e otterrai:
$int e^(-x) cos(2x)dx = -e^(-x)cos(2x)+2e^(-x)sin(2x)-int e^(-x)*4cos(2x) dx
se non ho sbagliato i conti. Ora guarda bene questa
uguaglianza: c'è un trucchetto che puoi fare
per calcolare quest'integrale...
$int e^(-x) cos(2x)dx = -e^(-x)cos(2x)+2e^(-x)sin(2x)-int e^(-x)*4cos(2x) dx
se non ho sbagliato i conti. Ora guarda bene questa
uguaglianza: c'è un trucchetto che puoi fare
per calcolare quest'integrale...
Avevi fatto bene per parti. Indico con S il segno di integrale
Infatti per parti hai:
Se(^-x)*cos(2x)dx=-e(^-x)*cos(2x)-2Ssen(2x)e^(-x)dx
Applica di nuovo per parti:
Ssen(2x)e^(-x)dx=-e^(-x)sen(2x)+2Se(^-x)*cos(2x)dx. Per cui avrai che l'integrale di partenza è:
Se(^-x)*cos(2x)dx=-e(^-x)*cos(2x)+2e^(-x)sen(2x)-4Se(^-x)*cos(2x)dx. Ora passa 4Se(^-x)*cos(2x)dx al primo membro ed otterrai:
5*Se(^-x)*cos(2x)dx =-e(^-x)*cos(2x)+2e^(-x)sen(2x) da cui
Se(^-x)*cos(2x)dx =(-e(^-x)*cos(2x)+2e^(-x)sen(2x) )/5 +C
Infatti per parti hai:
Se(^-x)*cos(2x)dx=-e(^-x)*cos(2x)-2Ssen(2x)e^(-x)dx
Applica di nuovo per parti:
Ssen(2x)e^(-x)dx=-e^(-x)sen(2x)+2Se(^-x)*cos(2x)dx. Per cui avrai che l'integrale di partenza è:
Se(^-x)*cos(2x)dx=-e(^-x)*cos(2x)+2e^(-x)sen(2x)-4Se(^-x)*cos(2x)dx. Ora passa 4Se(^-x)*cos(2x)dx al primo membro ed otterrai:
5*Se(^-x)*cos(2x)dx =-e(^-x)*cos(2x)+2e^(-x)sen(2x) da cui
Se(^-x)*cos(2x)dx =(-e(^-x)*cos(2x)+2e^(-x)sen(2x) )/5 +C
"fireball":
$-int e^(-x)*4cos(2x) dx$
è proprio qui che mi sono piantata..perchè continuavo ad andare all'infinito! cosa si fa?
leggi il mio post:
passa tale termine a primo membro. infatti tale integrale è pari a (-4) volte l'integrale cha devi calcolare. Passando a primo membro ottieni 5 volte l'integrale da calcolare, dividi per 5 ed è fatto
passa tale termine a primo membro. infatti tale integrale è pari a (-4) volte l'integrale cha devi calcolare. Passando a primo membro ottieni 5 volte l'integrale da calcolare, dividi per 5 ed è fatto
ah, scusate: la primitiva di cos2x non è 1/2 sin2x? grazie
Osserva che: $-int e^(-x)4cos(2x)dx=-4inte^(-x)cos(2x)dx$
ora a te quello che serve è calcolare $inte^(-x)cos(2x)dx,
quindi porti, come ha poi spiegato nicasamarciano,
l'espressione $-4inte^(-x)cos(2x)dx$ al primo
membro e ottieni $5inte^(-x)cos(2x)dx=...$
da cui $inte^(-x)cos(2x)dx=1/5 ...$
ora a te quello che serve è calcolare $inte^(-x)cos(2x)dx,
quindi porti, come ha poi spiegato nicasamarciano,
l'espressione $-4inte^(-x)cos(2x)dx$ al primo
membro e ottieni $5inte^(-x)cos(2x)dx=...$
da cui $inte^(-x)cos(2x)dx=1/5 ...$
"chiara_genova":
ah, scusate: la primitiva di cos2x non è 1/2 sin2x? grazie
ma io ho considerato nell'integrazione per parti come funzione da integrare e^(-x) non la funzione trigonometrica. Infatti nell'applicare 2 volte per parti ho sempre considerato e^(-x) come funzione da integrare e delle funzioni trigonometriche ho sempre e solo calcolato la derivata nel secondo termine di ogni singola integrazione per parti
io ho considerato g(x)= e^-x , f'(x)=cos2x..no?
"chiara_genova":
ah, scusate: la primitiva di cos2x non è 1/2 sin2x? grazie
Ma per fare quest'integrale non ti serve calcolare le primitive delle funzioni goniometriche...
In ogni caso sì, UNA (non LA, perche' di primitive ce ne sono infinite) primitiva di $f(x)=cos(2x)$ è $F(x)=1/2sin(2x)$.
aaaaaaaaaaaaah!! credo di aver capito!!!!!!!!!!! cioè, alla fine lo risolvo ponendo l'integrale di partenza uguale a qualcosa, continuo nella risoluzione e ottengo la soluzione??
"fireball":
[quote="chiara_genova"]ah, scusate: la primitiva di cos2x non è 1/2 sin2x? grazie
Ma per fare quest'integrale non ti serve calcolare le primitive delle funzioni goniometriche...
In ogni caso sì, UNA (non LA, perche' di primitive ce ne sono infinite) primitiva di $f(x)=cos(2x)$ è $F(x)=1/2sin(2x)$.[/quote]
quindi andava bene anche sen2x come primitiva?
"chiara_genova":
io ho considerato g(x)= e^-x , f'(x)=cos2x..no?
Io ho considerato la tua g(x) come funzione da integrare e la f(x) come funzione da derivare
Cioè
Sf*gdx=f*Sgdx-S(Sg)*f'dx
la mia g=e^(-x) ed f=cos(2x)
Non è che tu poni l'integrale di partenza uguale
a qualcosa... Inizi a svolgere l'integrale, cercando
di farti venire nella risoluzione un integrale uguale a
quello che devi calcolare, moltiplicato per qualche
coefficiente, così infatti puoi portare quest'ultimo
al primo membro e il gioco è fatto.
a qualcosa... Inizi a svolgere l'integrale, cercando
di farti venire nella risoluzione un integrale uguale a
quello che devi calcolare, moltiplicato per qualche
coefficiente, così infatti puoi portare quest'ultimo
al primo membro e il gioco è fatto.
si, scusa, mi sono spiegata male, ma ho capito 
grazie ragazzi! concludendo, pongo:
$5 int e^-xcos2x dx = (-e^-x cos2x+2e^-x sin2x)+c$
moltiplico entrambi per 1/5 e ottengo:
$ int e^-xcos2x dx = 1/5 (-e^-x cos2x+2e^-x sin2x)+c$, right? grazie infinite
grazie ragazzi! concludendo, pongo:$5 int e^-xcos2x dx = (-e^-x cos2x+2e^-x sin2x)+c$
moltiplico entrambi per 1/5 e ottengo:
$ int e^-xcos2x dx = 1/5 (-e^-x cos2x+2e^-x sin2x)+c$, right? grazie infinite
Right... Come al solito non è che lo poni tu, è l'integrale che viene così! 
"chiara_genova":
[quote="fireball"][quote="chiara_genova"]ah, scusate: la primitiva di cos2x non è 1/2 sin2x? grazie
Ma per fare quest'integrale non ti serve calcolare le primitive delle funzioni goniometriche...
In ogni caso sì, UNA (non LA, perche' di primitive ce ne sono infinite) primitiva di $f(x)=cos(2x)$ è $F(x)=1/2sin(2x)$.[/quote]
quindi andava bene anche sen2x come primitiva?[/quote]
puoi non aver bisogno di primitive di funzioni goniometriche se prendi come funzione di cui ricavare la primitiva la funzione e^(-x).
Se poi prendi cos(2x) la primitiva è 0.5*sen(2x)
"fireball":
Right... Come al solito non è che lo poni tu, è l'integrale che viene così!
si, vabè..
"nicasamarciano":
Se poi prendi cos(2x) la primitiva è 0.5*sen(2x)
ok
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