Integrale primo sistema ODE
Ciao a tutti!
Ho un problema e spero che qualcuno di voi mi possa aiutare:
supponiamo che ho un sistema di n equazioni differenziali ordinarie. Perché se esso ammette un integrale primo allora posso ridurre il numero di equazioni?
Grazie a chi mi risponderà.
Ho un problema e spero che qualcuno di voi mi possa aiutare:
supponiamo che ho un sistema di n equazioni differenziali ordinarie. Perché se esso ammette un integrale primo allora posso ridurre il numero di equazioni?
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Non è sempre vero. Servono delle ipotesi di regolarità. In ogni caso, in generale puoi fare questo:
se $x_1,\ldots,x_m$ sono le tue soluzioni, e $\chi$ il tuo integrale primo, puoi fare un cambio di coordinate in queste nuove coordinate:
$\chi,y_1,\ldots,y_{m-1}$
e in queste nuove coordinate hai sempre $m$ equazioni, ma quella per $\chi$ è semplicemente $\dot{\chi}=0$. Quindi rimani con $m-1$ equazioni.
Chiaramente non si può trovare il cambio sempre, però in generale sì.
Un esempio: le equazioni
$\dot{q} = p$, $\dot{p} = -q$
ammettono l'integrale primo:
$E = p^2 + q^2$
facciamo dunque il cambio nelle variabili $(E,\phi)$ con $E$ come sopra e
$p = \sqrt{E} \sin(\phi)$
$q = \sqrt{E} \cos(\phi)$
le equazioni diventano:
$\dot{E} = 0$
$\dot{\phi} = 1$
che sono banali. Perché ho fatto una trasformazione come questa?
Prendi lo spazio delle configurazioni per le tue ODE (lo spazio dove $y_i$ prende i valori.) Nell'esempio che ti ho fatto, il piano $(p,q)$. Adesso disegna gli insiemi di livello dell'integrale primo ($E = cost$); questi sono cerchi concentrici. Il moto dunque si deve svolgere sui cerchi; e su quale cerchio ci troviamo è parametrizzato dall'integrale primo. Allora qual è la cosa più intelligente da fare? Prendere un sistema di coordinate in cui la prima sia proprio $E$, visto che non cambia, e le altre ($\phi$) sono coordinate sul cerchio.
Ci sono chiaramente dei problemi che puoi già intuire:
- Se $E=0$, il cambio di coordinate perde di senso
- gli insiemi di livello topologicamente non saranno triviali; ad es. in questo caso sono dei cerchi e non delle rette. Questo vuol dire che la $\phi$ che ti ritrovi deve necessariamente essere una variabile periodica. Questo può complicarti la vita se hai sviluppato una teoria delle equazioni differenziali su $\mathbb{R}^m$.
- e altri.
N.B.: le $y_i$ possono anche essere in parte uguali a delle $x_i$. In effetti, in generale puoi prendere $y_i = x_i$ e buttare via $x_m$, sostituendola con $\chi$. Il punto è che potrebbe non essere sempre la scelta più intelligente.
se $x_1,\ldots,x_m$ sono le tue soluzioni, e $\chi$ il tuo integrale primo, puoi fare un cambio di coordinate in queste nuove coordinate:
$\chi,y_1,\ldots,y_{m-1}$
e in queste nuove coordinate hai sempre $m$ equazioni, ma quella per $\chi$ è semplicemente $\dot{\chi}=0$. Quindi rimani con $m-1$ equazioni.
Chiaramente non si può trovare il cambio sempre, però in generale sì.
Un esempio: le equazioni
$\dot{q} = p$, $\dot{p} = -q$
ammettono l'integrale primo:
$E = p^2 + q^2$
facciamo dunque il cambio nelle variabili $(E,\phi)$ con $E$ come sopra e
$p = \sqrt{E} \sin(\phi)$
$q = \sqrt{E} \cos(\phi)$
le equazioni diventano:
$\dot{E} = 0$
$\dot{\phi} = 1$
che sono banali. Perché ho fatto una trasformazione come questa?
Prendi lo spazio delle configurazioni per le tue ODE (lo spazio dove $y_i$ prende i valori.) Nell'esempio che ti ho fatto, il piano $(p,q)$. Adesso disegna gli insiemi di livello dell'integrale primo ($E = cost$); questi sono cerchi concentrici. Il moto dunque si deve svolgere sui cerchi; e su quale cerchio ci troviamo è parametrizzato dall'integrale primo. Allora qual è la cosa più intelligente da fare? Prendere un sistema di coordinate in cui la prima sia proprio $E$, visto che non cambia, e le altre ($\phi$) sono coordinate sul cerchio.
Ci sono chiaramente dei problemi che puoi già intuire:
- Se $E=0$, il cambio di coordinate perde di senso
- gli insiemi di livello topologicamente non saranno triviali; ad es. in questo caso sono dei cerchi e non delle rette. Questo vuol dire che la $\phi$ che ti ritrovi deve necessariamente essere una variabile periodica. Questo può complicarti la vita se hai sviluppato una teoria delle equazioni differenziali su $\mathbb{R}^m$.
- e altri.
N.B.: le $y_i$ possono anche essere in parte uguali a delle $x_i$. In effetti, in generale puoi prendere $y_i = x_i$ e buttare via $x_m$, sostituendola con $\chi$. Il punto è che potrebbe non essere sempre la scelta più intelligente.
Ho capito... Grazie mille, sei stato molto esauriente! 
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