Integrale primo di una ODE
Buon giorno a tutti!
Vorrei chiedere a voi del foro se ci sono metodi per la ricerca di integrali primi di un sistema descritto da ODE.
Dalla teoria so la definizione di integrale primo [derivata di Lie nulla] ed un teorema che dice che se \(E\) è un integrale primo allora le orbite del sistema sono contenute in curve di livello di \(E\).
Il libro fa anche degli esempi, come l'energia meccanica per i sistemi interpretati fisicamente, o quello di Lotka-Volterra, però in nessun caso lo ricava direttamente.
Che fare?
Ringrazio tutti per le risposte!
Vorrei chiedere a voi del foro se ci sono metodi per la ricerca di integrali primi di un sistema descritto da ODE.
Dalla teoria so la definizione di integrale primo [derivata di Lie nulla] ed un teorema che dice che se \(E\) è un integrale primo allora le orbite del sistema sono contenute in curve di livello di \(E\).
Il libro fa anche degli esempi, come l'energia meccanica per i sistemi interpretati fisicamente, o quello di Lotka-Volterra, però in nessun caso lo ricava direttamente.
Che fare?
Ringrazio tutti per le risposte!
Risposte
IUl trucco "tipico" è cercare di ottenere una forma differenziale lineare dal tuo sistema, della quale è semplice determinare una primitiva.
Prova a postare un esempio...
Prova a postare un esempio...
L'esercizio che ho sott'occhio è preso da un tema d'esame e propone l'ODE
\[
\ddot{y} = 1 - y^2
\]
il cui sistema equivalente, posto \(y = y_1\), è
\[
\begin{cases}
\dot{y_1} = y_2 \\
\dot{y_2} = 1 - y_1^2
\end{cases}
\]
A questo punto mi è richiesto di "trovare la funzione energia (integrale primo del sistema)".
Siccome questo è un sistema "di tipo Newton", con l'interpretazione fisica si dichiara
\[
E_M = E_C + E_P = \frac{y_2^2}{2} - \int_{t_0}^t 1 - y_1^2 dt
\]
e si finisce tranquillamente.
Ma senza questo magheggio?
Inoltre, nell'esempio che ho scritto compare un quadrato, e noto che nella tua risposta hai specificato "forma differenziale lineare" e non so se questo sia un problema [non ho ancora studiato le forme differenziali nel dettaglio, so solo quello che insegnano ad analisi 2].
Grazie per l'aiuto!
\[
\ddot{y} = 1 - y^2
\]
il cui sistema equivalente, posto \(y = y_1\), è
\[
\begin{cases}
\dot{y_1} = y_2 \\
\dot{y_2} = 1 - y_1^2
\end{cases}
\]
A questo punto mi è richiesto di "trovare la funzione energia (integrale primo del sistema)".
Siccome questo è un sistema "di tipo Newton", con l'interpretazione fisica si dichiara
\[
E_M = E_C + E_P = \frac{y_2^2}{2} - \int_{t_0}^t 1 - y_1^2 dt
\]
e si finisce tranquillamente.
Ma senza questo magheggio?
Inoltre, nell'esempio che ho scritto compare un quadrato, e noto che nella tua risposta hai specificato "forma differenziale lineare" e non so se questo sia un problema [non ho ancora studiato le forme differenziali nel dettaglio, so solo quello che insegnano ad analisi 2].
Grazie per l'aiuto!
Che io sappia è sempre questione di magheggi. Mi ricordo infatti di avere letto su Analisi matematica di Avantaggiati che "ad oggi non esistono metodi generali per trovare integrali primi". Comunque, sentiamo cosa ha da aggiungere Gugo.
Se devo dire la verità, non ho mai approfondito la questione, quindi non so se esistano o meno metodi generali.
Tuttavia, nei casi in cui mi è capitato di determinare degli integrali primi ho sempre ragionato come segue.
Un integrale primo di un sistema autonomo:
\[
\begin{cases}
\dot{x} (t) =f(x(t),y(t))\\
\dot{y} (t) =g(x(t),y(t))
\end{cases}
\]
è una funzione \(E(x,y)\) "abbastanza liscia" tale che \(e(t)=E(x(t),y(t))\) è costante per ogni soluzione \((x(t),y(t))\) del sistema.
Visto che \(E\) è abbastanza liscia, \(e\) è derivabile e quindi \(E\) è un integrale primo se e solo se:
\[
\tag{1} 0=\dot{e} (t) = E_x(x(t),y(t))\ \dot{x} (t) + E_y (x(t),y(t))\ \dot{y} (t)\; .
\]
Ora, supponi di riuscire a determinare due funzioni \(m(x,y), n(x,y)\) tali che \(f(x,y)m(x,y)=g(x,y)n(x,y)\); moltiplicando m. a. m. le due equazioni del sistema rispettivamente per \(m\) ed \(n\) e sottraendo m.a.m. le relazioni così ottenute, si vede che:
\[
\tag{2} 0=m(x(t),y(t))f(x(t),y(t))-n(x(t),y(t))g(x(t),y(t))= m(x(t),y(t))\ \dot{x} (t) -n(x(t),y(t))\ \dot{y} (t)
\]
quindi, confrontando le (1)-(2), basta determinare \(E\) in modo che:
\[
\begin{cases}
E_x(x,y)=m(x,y)\\
E_y (x,y)=-n(x,y)
\end{cases}
\]
ossia determinare un potenziale della forma differenziale lineare:
\[
m(x,y)\ \text{d} x-n(x,y)\ \text{d} y
\]
(che altro non è che l'ultimo membro della (2) scritto "eliminando" ogni riferimento alla variabile indipendente \(t\)).
Nel tuo caso hai \(f(x,y):=y\) e \(g(x,y):=1-x^2\) ed il sistema è:
\[
\tag{3} \begin{cases}
\dot{x} (t) =y(t)\\
\dot{y} (t) =1-x^2 (t)\; .
\end{cases}
\]
Possiamo porre \(m(x,y)=g(x,y)\) ed \(n(x,y)=f(x,y)\) e concludere che basta integrare la f.d.l.:
\[
(1-x^2)\ \text{d} x -y\ \text{d} y
\]
per ottenere un buon integrale primo.
La f.d.l. è definita e di classe \(C^\infty\) in tutto \(\mathbb{R}^2\) e verifica la condizione di chiusura (quella "delle derivate in croce"); quindi essa è dotata di potenziale e si vede che tale potenziale è del tipo:
\[
E (x,y)= x-\frac{1}{3}\ x^3- \frac{1}{2}\ y^2+\text{cost.}\; ;
\]
per quanto detto poco più sopra, \(E\) è un integrale primo del sistema.
Per verificare, sia \((x(t),y(t))\) una soluzione del sistema; abbiamo:
\[
e(t) = x(t) -\frac{1}{3}\ x^3 (t) -\frac{1}{2}\ y^2 (t) +\text{cost.}
\]
cosicché:
\[
\dot{e} (t) = (1-x^2(t))\ \dot{x} (t) -y(t)\ \dot{y} (t) = (1-x^2(t))\ y(t)-y(t)\ (1-x^2(t))=0
\]
quindi \(E\) è costante su ogni traiettoria del sistema, come volevamo.
Tuttavia, nei casi in cui mi è capitato di determinare degli integrali primi ho sempre ragionato come segue.
Un integrale primo di un sistema autonomo:
\[
\begin{cases}
\dot{x} (t) =f(x(t),y(t))\\
\dot{y} (t) =g(x(t),y(t))
\end{cases}
\]
è una funzione \(E(x,y)\) "abbastanza liscia" tale che \(e(t)=E(x(t),y(t))\) è costante per ogni soluzione \((x(t),y(t))\) del sistema.
Visto che \(E\) è abbastanza liscia, \(e\) è derivabile e quindi \(E\) è un integrale primo se e solo se:
\[
\tag{1} 0=\dot{e} (t) = E_x(x(t),y(t))\ \dot{x} (t) + E_y (x(t),y(t))\ \dot{y} (t)\; .
\]
Ora, supponi di riuscire a determinare due funzioni \(m(x,y), n(x,y)\) tali che \(f(x,y)m(x,y)=g(x,y)n(x,y)\); moltiplicando m. a. m. le due equazioni del sistema rispettivamente per \(m\) ed \(n\) e sottraendo m.a.m. le relazioni così ottenute, si vede che:
\[
\tag{2} 0=m(x(t),y(t))f(x(t),y(t))-n(x(t),y(t))g(x(t),y(t))= m(x(t),y(t))\ \dot{x} (t) -n(x(t),y(t))\ \dot{y} (t)
\]
quindi, confrontando le (1)-(2), basta determinare \(E\) in modo che:
\[
\begin{cases}
E_x(x,y)=m(x,y)\\
E_y (x,y)=-n(x,y)
\end{cases}
\]
ossia determinare un potenziale della forma differenziale lineare:
\[
m(x,y)\ \text{d} x-n(x,y)\ \text{d} y
\]
(che altro non è che l'ultimo membro della (2) scritto "eliminando" ogni riferimento alla variabile indipendente \(t\)).
Nel tuo caso hai \(f(x,y):=y\) e \(g(x,y):=1-x^2\) ed il sistema è:
\[
\tag{3} \begin{cases}
\dot{x} (t) =y(t)\\
\dot{y} (t) =1-x^2 (t)\; .
\end{cases}
\]
Possiamo porre \(m(x,y)=g(x,y)\) ed \(n(x,y)=f(x,y)\) e concludere che basta integrare la f.d.l.:
\[
(1-x^2)\ \text{d} x -y\ \text{d} y
\]
per ottenere un buon integrale primo.
La f.d.l. è definita e di classe \(C^\infty\) in tutto \(\mathbb{R}^2\) e verifica la condizione di chiusura (quella "delle derivate in croce"); quindi essa è dotata di potenziale e si vede che tale potenziale è del tipo:
\[
E (x,y)= x-\frac{1}{3}\ x^3- \frac{1}{2}\ y^2+\text{cost.}\; ;
\]
per quanto detto poco più sopra, \(E\) è un integrale primo del sistema.
Per verificare, sia \((x(t),y(t))\) una soluzione del sistema; abbiamo:
\[
e(t) = x(t) -\frac{1}{3}\ x^3 (t) -\frac{1}{2}\ y^2 (t) +\text{cost.}
\]
cosicché:
\[
\dot{e} (t) = (1-x^2(t))\ \dot{x} (t) -y(t)\ \dot{y} (t) = (1-x^2(t))\ y(t)-y(t)\ (1-x^2(t))=0
\]
quindi \(E\) è costante su ogni traiettoria del sistema, come volevamo.
Gugo, sei eccezionale come al solito. Prima o poi farò una ricerca di tutti i tuoi messaggi nel forum, li raccoglierò e ne farò un eccellente libro di analisi 1-2-3-4 
Grazie ancora, sei stato chiarissimo!
Grazie ancora, sei stato chiarissimo!
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