Integrale postato recentemente, trucchetto?
Mi sono posto il problema di risolvere un integrale postato recentemente (il seguente):
$ int sqrt(1+x^2) dx $
Con la seguente sostituzione (sono un fisico e non pretendo alcun rigore):
$ i*cost=x ,
x^2=-(cost)^2 ,
dx=-isentdt$
(come si va a capo con questo linguaggio per scrivere le formule??)
Ripeto per i matematici rigorosi: l'ho fatto per sport ed ero curioso nel vedere se uscisse il risultato corretto.
Comunque è ovvio il punto dove volevo arrivare, scrivermi la radice come appunto $ sqrt(1-(cost)^2) = sent$ e quindi risolvere immediatamente (applicando poi le formule di bisezione e ritornando indietro nella x).
Ovviamente è ovvio che sorgono problemi: numero uno stiamo ora nei numeri complessi e quindi..poi ritornando alla x escono termini del tipo $arccos(x/i)$ e cose simili, non facilissime da risolvere MA ci ho provato per sfizio per vedere se alla fine della giornata uscisse la primitiva effettivamente nota (quella che si ricava con le funzioni iperboliche) e mi trovo il seguente risultato come primitiva:
$(1/2) *(x*sqrt(1+x^2)-log(-x+-sqrt(1+x^2))-i*pi/4)$
Per arrivarci basta ricavare il valore di arccos(x/i) e l'ho fatto invertendo e scrivendomi il coseno in termini esponenziali e risolvendo una equazione quadratica che ne veniva fuori.
Come potete osservare assomiglia alla vera primitiva ma non è identica. Il "più o meno" nel logaritmo deriva da una risoluzione della quadratica prima citata, quindi non sapevo sinceramente quali delle due soluzioni fosse quella giusta. Secondo, qualche segno non si trova (il meno come coefficiente del logaritmo, il meno della x dentro il logaritmo, e poi c'è un termine immaginario che non dovrebbe proprio esserci).
Ora FINGENDO che il termine immaginario "si toglie" perchè prendiamo solo la parte reale della soluzione, il resto come mai non è identico? Tutto questo trova effettiva applicazione o è un artificio "illegale"?
Vi prego saziate la mia curiosità.
$ int sqrt(1+x^2) dx $
Con la seguente sostituzione (sono un fisico e non pretendo alcun rigore):
$ i*cost=x ,
x^2=-(cost)^2 ,
dx=-isentdt$
(come si va a capo con questo linguaggio per scrivere le formule??)
Ripeto per i matematici rigorosi: l'ho fatto per sport ed ero curioso nel vedere se uscisse il risultato corretto.
Comunque è ovvio il punto dove volevo arrivare, scrivermi la radice come appunto $ sqrt(1-(cost)^2) = sent$ e quindi risolvere immediatamente (applicando poi le formule di bisezione e ritornando indietro nella x).
Ovviamente è ovvio che sorgono problemi: numero uno stiamo ora nei numeri complessi e quindi..poi ritornando alla x escono termini del tipo $arccos(x/i)$ e cose simili, non facilissime da risolvere MA ci ho provato per sfizio per vedere se alla fine della giornata uscisse la primitiva effettivamente nota (quella che si ricava con le funzioni iperboliche) e mi trovo il seguente risultato come primitiva:
$(1/2) *(x*sqrt(1+x^2)-log(-x+-sqrt(1+x^2))-i*pi/4)$
Per arrivarci basta ricavare il valore di arccos(x/i) e l'ho fatto invertendo e scrivendomi il coseno in termini esponenziali e risolvendo una equazione quadratica che ne veniva fuori.
Come potete osservare assomiglia alla vera primitiva ma non è identica. Il "più o meno" nel logaritmo deriva da una risoluzione della quadratica prima citata, quindi non sapevo sinceramente quali delle due soluzioni fosse quella giusta. Secondo, qualche segno non si trova (il meno come coefficiente del logaritmo, il meno della x dentro il logaritmo, e poi c'è un termine immaginario che non dovrebbe proprio esserci).
Ora FINGENDO che il termine immaginario "si toglie" perchè prendiamo solo la parte reale della soluzione, il resto come mai non è identico? Tutto questo trova effettiva applicazione o è un artificio "illegale"?
Vi prego saziate la mia curiosità.
Risposte
Allora, per cominciare ti segnalo l'errore principale che hai commesso: hai preso funzioni definite su $RR$ ed hai dato loro in pasto numeri complessi per poi gestirle con le consuete tecniche. Purtroppo, se ti piazzi nei numeri complessi le funzioni trigonometriche ed il log (con relative inverse) vanno ridefinite pesantemente, perdendo quindi le proprietà che hanno notoriamente e che però valgono solo in $RR$ (anzi, nei loro domini in $RR$, ma vabbè). Un disastro.
Tanto per farti notare un'incongruenza, prova a definire il dominio di un logaritmo con argomento complesso. In $RR$ puoi chiedere che l'argomento del log sia positivo, ma in $CC$ non c'è ordinamento...
Esiste una estensione di log al campo complesso, qui c'è la definizione. Però, già dal fatto che si tratta di una funzione polidroma, è ovvio che non puoi trattarlo come un logaritmo reale. Per sin e cos non ho trovato estensioni al campo complesso: magari esistono e si utilizzano in qualche modo negli ipercomplessi, ma è un argomento che non ho ancora affrontato.
Adesso passo a rimproverarti.
Tanto per farti notare un'incongruenza, prova a definire il dominio di un logaritmo con argomento complesso. In $RR$ puoi chiedere che l'argomento del log sia positivo, ma in $CC$ non c'è ordinamento...
Esiste una estensione di log al campo complesso, qui c'è la definizione. Però, già dal fatto che si tratta di una funzione polidroma, è ovvio che non puoi trattarlo come un logaritmo reale. Per sin e cos non ho trovato estensioni al campo complesso: magari esistono e si utilizzano in qualche modo negli ipercomplessi, ma è un argomento che non ho ancora affrontato.
Adesso passo a rimproverarti.
Vabbè non capisco perchè non possa semplicemente definire in questo modo le funzioni trigonometriche:
$ cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2 $
$ senz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)$
Per il resto so che il logaritmo è una funzione polidroma, ma non è un problema visto che ho imposto che gli argomenti dei numeri complessi trattati siano nell'intervallo (0,2π) a meno che non intendi altro non capisco questo problema.
Se poi intendi che dovrei proprio passare ai complessi direttamente e cercare di calcolare la primitiva facendo considerazioni sui complessi, ad esempio costruendo un opportuno cammino chiuso e sfruttando il teorema dei residui, allora ok ci sta, avevo pensato ad un semicerchio di centro arbitrario a e raggio t come primo pezzo della curva, poi il suo diametro posto sull'asse reale che chiude il circuito, e calcolandomi l'integrale sul semicerchio dovrei ottenere l'integrale lungo quel segmento reale, poichè la circuitazione è nulla essendo la funzione olomorfa. Che sia fattibile non lo so ma non credo che esca integrabile.
Accetto il rimprovero:
$ cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2 $
$ senz=(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)$
Per il resto so che il logaritmo è una funzione polidroma, ma non è un problema visto che ho imposto che gli argomenti dei numeri complessi trattati siano nell'intervallo (0,2π) a meno che non intendi altro non capisco questo problema.
Se poi intendi che dovrei proprio passare ai complessi direttamente e cercare di calcolare la primitiva facendo considerazioni sui complessi, ad esempio costruendo un opportuno cammino chiuso e sfruttando il teorema dei residui, allora ok ci sta, avevo pensato ad un semicerchio di centro arbitrario a e raggio t come primo pezzo della curva, poi il suo diametro posto sull'asse reale che chiude il circuito, e calcolandomi l'integrale sul semicerchio dovrei ottenere l'integrale lungo quel segmento reale, poichè la circuitazione è nulla essendo la funzione olomorfa. Che sia fattibile non lo so ma non credo che esca integrabile.
Accetto il rimprovero:
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