Integrale positivo
abbiamo la funzione ].[tex]f:\left[ { - 1,1} \right] \to R[/tex] con la [tex]{f''}[/tex] strettamente crescente
Se [tex]\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx = - 2}[/tex] e [tex]f'\left( 0 \right) = 2[/tex] dimostrare che [tex]\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx > 0}[/tex].
Se [tex]\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx = - 2}[/tex] e [tex]f'\left( 0 \right) = 2[/tex] dimostrare che [tex]\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx > 0}[/tex].
Risposte
Visto che nessuno si cimenta...
Poiché \(f''\) è strettamente crescente, \(f'\) è strettamente convessa.
Ciao Rigel e prof Denny.
$f''$ è strettamente crescente, ma non si sa se sia positiva o no. All'inizio sono stato tratto in inganno anch'io.
PS. Con l'occasione auguro Buone feste a tutti.
Buone feste a tutti anche da parte mia e felice anno nuovo che arriva fra un po.
Sperriamo che questa nave che sta in mezzo al mare ,andra con sicurezza al porto giusto.
Vi mando dopo anche la mia soluzione.
Grazie anche a Rigel che sta sempre in gamba, per problemi molto dificcili non per una cosa cosi semplice.Auguri sig.Rigel.
Dennys
Sperriamo che questa nave che sta in mezzo al mare ,andra con sicurezza al porto giusto.
Vi mando dopo anche la mia soluzione.
Grazie anche a Rigel che sta sempre in gamba, per problemi molto dificcili non per una cosa cosi semplice.Auguri sig.Rigel.
Dennys
"Quinzio":Poiché \(f''\) è strettamente crescente, \(f'\) è strettamente convessa.
$f''$ è strettamente crescente, ma non si sa se sia positiva o no. All'inizio sono stato tratto in inganno anch'io.
Non ho scritto che \(f\) è convessa, ma che \(f'\) è convessa (come succede a qualsiasi funzione derivabile che abbia la derivata crescente...).
@Dennys e Quinzio: auguri anche a voi (e, naturalmente, a tutti gli altri frequentatori del forum)!
Bene, delle soluzioni! Avevo provato anch'io, ma senza riuscirci e quindi ero curiosa.
@Rigel: non riesco a capire le disuguaglianze (1) e (2) a partire da quella iniziale: se hai un secondo mi potresti spiegare, per favore?
Io avevo provato un'altra via:
dal teorema della media integrale, sappiamo che esiste un punto $c$ nell'intervallo [-1, 0] tale che $ int_(-1)^(0) f(x) dx = f'(c)=-2 $ . Siccome $f'(0) = 2$, deduciamo che il ramo della derivata prima posto nell'intervallo (c, 0) è crescente. Siccome la derivata prima è convessa, sarà pure crescente il ramo in [0, 1], perciò $f'(x)>2$. Da qui posso concludere qualcosa, secondo voi, oppure è sbagliato come ho impostato il ragionamento?
p.s. Grazie a dennymathprof che ci propone spesso problemi divertenti e auguri anche da parte mia
@Rigel: non riesco a capire le disuguaglianze (1) e (2) a partire da quella iniziale: se hai un secondo mi potresti spiegare, per favore?
Io avevo provato un'altra via:
dal teorema della media integrale, sappiamo che esiste un punto $c$ nell'intervallo [-1, 0] tale che $ int_(-1)^(0) f(x) dx = f'(c)=-2 $ . Siccome $f'(0) = 2$, deduciamo che il ramo della derivata prima posto nell'intervallo (c, 0) è crescente. Siccome la derivata prima è convessa, sarà pure crescente il ramo in [0, 1], perciò $f'(x)>2$. Da qui posso concludere qualcosa, secondo voi, oppure è sbagliato come ho impostato il ragionamento?
p.s. Grazie a dennymathprof che ci propone spesso problemi divertenti e auguri anche da parte mia
"jitter":
@Rigel: non riesco a capire le disuguaglianze (1) e (2) a partire da quella iniziale: se hai un secondo mi potresti spiegare, per favore?
Parti dalla disuguaglianza
\[
f'(t) > 2 + f''(0) t, \qquad \forall |t|\leq 1,\ t\neq 0.
\]
Consideriamo il caso \(x\in (0,1]\); poiché \(f'\) è continua (dal momento che \(f\) è derivabile almeno due volte), integrando la disuguaglianza in \([0,x]\) si ha
\[
\int_0^x f'(t)\, dt > \int_0^x [2 + f''(0) t]\, dt,
\]
ovvero, usando il teorema fondamentale del calcolo integrale,
\[
f(x) - f(0) > 2x + f''(0)\, \frac{x^2}{2}\,.
\]
Analogamente si ragiona nel caso \(x\in [-1, 0)\).
Sei stato chiarissimo, Rigel, ho capito 
Cominciamo con la funzione [tex]..\displaystyle{G\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( { - x} \right),0 \le x \le 1}[/tex] E' [tex]\displaystyle{G'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f'\left( { - x} \right)}[/tex] e ancora [tex]\displaystyle{G''\left( x \right) = f''\left( x \right) - f''\left( { - x} \right)}.[/tex]
Si come [tex]\displaystyle{{f''}}[/tex] e' crescente strettamente abbiamo
[tex]\displaystyle{ \bullet } \displaystyle{G''\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0,1} \right]} ,
\displaystyle{ \bullet G''\left( 0 \right) = 0}[/tex]cioe' la funzione [tex]\displaystyle{{G'}}[/tex] e' crescente nell' [tex]\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}[/tex]
Cioe' la funzione [tex]\displaystyle{{G'}}[/tex] ha un solo minimo a [tex]\displaystyle{{x_0} = 0}[/tex] , il [tex]\displaystyle{\min G'\left( x \right) = G'\left( 0 \right) = 2f'\left( 0 \right) = 4}[/tex],cioe' e vero che [tex]\displaystyle{G'\left( x \right) \ge \min G'\left( x \right) = 4,\forall x \in \left[ { 0,1} \right] \Rightarrow }
\displaystyle{ \Rightarrow {\left( {G\left( x \right) - 4x} \right)^\prime } \ge 0,\forall x \in \left[ { 0,1} \right]}[/tex] , con la ugualianza solo per [tex]\displaystyle{x = 0}[/tex],quindi la funzione [tex]\displaystyle{H\left( x \right) = G\left( x \right) - 4x,x \in \left[ { 0,1} \right]},[/tex]e crescente .Cioe' [tex]\displaystyle{H\left( x \right) \ge H\left( 0 \right),\forall x \in \left[ {0,1} \right] \Rightarrow }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \Rightarrow f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) - 4x \ge 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right]}[/tex] (con il = solo per [tex]\displaystyle{x = 0}) \displaystyle{ \Rightarrow } \displaystyle{ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) - 4x} \right)dx} > 0 \Rightarrow }\displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,} dx + \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)\,\left( { - 1} \right)\,} dx - 2 > 0 \Rightarrow }
\displaystyle{ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,} dx + \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)\,\,} dx > 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,} dx + 2 > 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,} dx > 0}
\displaystyle{\left( {\int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)\,\left( { - 1} \right)\,} dx\mathop = \limits_{du = \left( { - 1} \right)dx}^{u = - x} \int\limits_0^{ - 1} {f\left( u \right)\,\,} du = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)\,\,} dx} \right)}[/tex]
Si come [tex]\displaystyle{{f''}}[/tex] e' crescente strettamente abbiamo
[tex]\displaystyle{ \bullet } \displaystyle{G''\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0,1} \right]} ,
\displaystyle{ \bullet G''\left( 0 \right) = 0}[/tex]cioe' la funzione [tex]\displaystyle{{G'}}[/tex] e' crescente nell' [tex]\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}[/tex]
Cioe' la funzione [tex]\displaystyle{{G'}}[/tex] ha un solo minimo a [tex]\displaystyle{{x_0} = 0}[/tex] , il [tex]\displaystyle{\min G'\left( x \right) = G'\left( 0 \right) = 2f'\left( 0 \right) = 4}[/tex],cioe' e vero che [tex]\displaystyle{G'\left( x \right) \ge \min G'\left( x \right) = 4,\forall x \in \left[ { 0,1} \right] \Rightarrow }
\displaystyle{ \Rightarrow {\left( {G\left( x \right) - 4x} \right)^\prime } \ge 0,\forall x \in \left[ { 0,1} \right]}[/tex] , con la ugualianza solo per [tex]\displaystyle{x = 0}[/tex],quindi la funzione [tex]\displaystyle{H\left( x \right) = G\left( x \right) - 4x,x \in \left[ { 0,1} \right]},[/tex]e crescente .Cioe' [tex]\displaystyle{H\left( x \right) \ge H\left( 0 \right),\forall x \in \left[ {0,1} \right] \Rightarrow }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \Rightarrow f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) - 4x \ge 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right]}[/tex] (con il = solo per [tex]\displaystyle{x = 0}) \displaystyle{ \Rightarrow } \displaystyle{ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) - 4x} \right)dx} > 0 \Rightarrow }\displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,} dx + \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)\,\left( { - 1} \right)\,} dx - 2 > 0 \Rightarrow }
\displaystyle{ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,} dx + \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)\,\,} dx > 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,} dx + 2 > 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,} dx > 0}
\displaystyle{\left( {\int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)\,\left( { - 1} \right)\,} dx\mathop = \limits_{du = \left( { - 1} \right)dx}^{u = - x} \int\limits_0^{ - 1} {f\left( u \right)\,\,} du = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)\,\,} dx} \right)}[/tex]
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