Integrale piuttosto antipatico...
Ciao a tutti ragazzi, oggi dovrei calcolare il seguente integrale rispetto a x:
\(\displaystyle \int\frac{x+y}{1+x^2+y^2}dx \)
...ma lo trovo davvero molto difficile.
Penso di aver fatto un piccolo passo avanti separando i due membri e integrando il primo in questo modo:
\[\int \frac{x}{x^2+y^2+1}dx+\int \frac{y}{x^2+y^2+1}dx=\frac{1}{2}log|x^2+y^2+1|+y\int \frac{1}{x^2+y^2+1}dx\]
ma in questo modo mi rimane il seguente integrale, anch'esso difficile da risolvere:
\[\int \frac{1}{x^2+y^2+1}dx\]
Ho provato coi metodi di Sostituzione, di Integrazione per Parti e persino di Integrazione per Funzioni Razionali, sia applicati all'integrale di partenza che all'ultimo integrale citato. Eppure non riesco davvero a venirne fuori, sembra impossibile
Qualcuno saprebbe suggerirmi una formula.....magica?
Grazie in anticipo a chiunque risponderà
\(\displaystyle \int\frac{x+y}{1+x^2+y^2}dx \)
...ma lo trovo davvero molto difficile.
Penso di aver fatto un piccolo passo avanti separando i due membri e integrando il primo in questo modo:
\[\int \frac{x}{x^2+y^2+1}dx+\int \frac{y}{x^2+y^2+1}dx=\frac{1}{2}log|x^2+y^2+1|+y\int \frac{1}{x^2+y^2+1}dx\]
ma in questo modo mi rimane il seguente integrale, anch'esso difficile da risolvere:
\[\int \frac{1}{x^2+y^2+1}dx\]
Ho provato coi metodi di Sostituzione, di Integrazione per Parti e persino di Integrazione per Funzioni Razionali, sia applicati all'integrale di partenza che all'ultimo integrale citato. Eppure non riesco davvero a venirne fuori, sembra impossibile
Qualcuno saprebbe suggerirmi una formula.....magica?
Grazie in anticipo a chiunque risponderà
Risposte
La prima scomposizione è cosa buona e giusto. Per il secondo integrale :
\[\int \frac{1}{x^2 + y^2 + 1} = \int \frac{1}{(y^2 + 1)(\frac{x^2}{y^2 + 1} + 1 )} = \frac{1}{y^2 + 1}\int \frac{1}{\frac{x^2}{y^2 + 1} + 1 }\]
Quest'ultimo integrale non ti puzza un po' di qualcosa?
\[\int \frac{1}{x^2 + y^2 + 1} = \int \frac{1}{(y^2 + 1)(\frac{x^2}{y^2 + 1} + 1 )} = \frac{1}{y^2 + 1}\int \frac{1}{\frac{x^2}{y^2 + 1} + 1 }\]
Quest'ultimo integrale non ti puzza un po' di qualcosa?
"Emar":
La prima scomposizione è cosa buona e giusto. Per il secondo integrale :
\[\int \frac{1}{x^2 + y^2 + 1} = \int \frac{1}{(y^2 + 1)(\frac{x^2}{y^2 + 1} + 1 )} = \frac{1}{y^2 + 1}\int \frac{1}{\frac{x^2}{y^2 + 1} + 1 }\]
Quest'ultimo integrale non ti puzza un po' di qualcosa?
Ti ringrazio per la risposta Emar
L'ultimo integrale, a dire il vero mi puzza vagamente (ma MOOOLTO vagamente
) di arcotangente...ma il termine (y^2+1) che divide la x^2 che troviamo al denominatore mi scombussola tutto, non sto riuscendo ad "isolarlo" per ottenere una forma familiare come:\[\frac{1}{x^2 + 1 }\]
o forme simili...
ma c'è anche l'integrale immediato
$ int (f'(x))/(1+f^2(x)) dx $
$ int (f'(x))/(1+f^2(x)) dx $
Si tratta di una funzione composta si parla (leggasi integrale per sostituzione). Se non "ricordi" la formula di stormy, poni \(t(x) = \frac{x}{\sqrt{y^2 + 1}}\) e fai per sostituzione 
Fantastico! Con l'integrale immediato sono riuscito a risolvere!!
Grazie mille ragazzi, sempre velocissimi e precisissimi, non so davvero come sdebitarmi
Grazie mille ragazzi, sempre velocissimi e precisissimi, non so davvero come sdebitarmi
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