Integrale per sostituzione e intervallo improprio

[Riccardo Desimini]

Si consideri l'integrale
\[ \int_0^1 \ln^2u\, {\rm d}u \]
e ci si ponga il problema di risolverlo attraverso il teorema di integrazione per sostituzione.

Quel che mi chiedo è se è possibile giustificare in modo rigoroso l'uguaglianza
\[ \int_0^1 \ln^2u\, {\rm d}u = \int_{-\infty}^0 t^2e^t\, {\rm d}t \]
(la quale porta al risultato corretto, che è \( 2 \)). Il dubbio mi viene perché applicando alla cieca il teorema di integrazione per sostituzione (\( \ln u = t \)) si arriva ad un integrale improprio, cosa non prevista, per cui mi domando se esiste una giustificazione "in senso generalizzato" che porti a tale uguaglianza.

Spero di essermi spiegato.

Qualcuno sa dirmi?

[Nietzsche610]

Non vorrei dire un'idiozia, ma anche il membro a sinistra della tua uguaglianza è un integrale improprio.
Infatti $f(u)=ln^2(u)$ non è definita in $[0,1]$, ma lo è nell'intervallo $(0,1]$. Infatti la scrittura:

$\int_{0}^1ln^2(u)du$

è giustificata solo se il limite $\lim_{\epsilon->0^+}\int_{\epsilon}^1ln^2(u)du$ esiste. Discorso analogo per l'estremo infinito.

Ragionando per sostituzione, puoi scrivere:

$\lim_{\epsilon->0^+}\int_{\epsilon}^1ln^2(u)du=\int_{0}^1ln^2(u)du=\lim_{\epsilon->-\infty}\int_{\epsilon}^0t^2e^tdt=\int_{-\infty}^0t^2e^tdt$,

che si riduce alla scrittura $\int_{0}^1ln^2(u)du=\int_{-\infty}^0t^2e^tdt$ perché i due limiti esistono, cioè i due integrali convergono. Il che è coerente, in quanto sia a primo che a secondo membro hai un integrale improprio.

Aspettiamo comunque qualcuno di più preparato

[Riccardo Desimini]

Il tuo intervento mi ha ispirato, grazie di cuore.