Integrale per sostituzione

[francisblues]

Buongiorno a tutti!
Sono alle prese con un integrale indefinito, abbastanza semplice:
$ int sqrt(1+x^2)dx $ , faccio quindi la sostituzione di x con il sinh(t) e
alla fine di tutto trovo che:
$ int sqrt(1+x^2)dx = int (cosh(t))^2dt = (sinh(t)cosh(t) + t)/2 +K
Sapendo che $ t=arcsinh(x)=ln(x +sqrt(1+x^2)) $ dovrei trovare
questo risultato: $ int sqrt(1+x^2)dt =( xsqrt(1+ x^2) + ln(x +sqrt(1+x^2)))/2 + K
il mio problema consiste nel fatto che non riesco a trovare l'espressione giusta di $ cosh(t) $,
in quanto, secondo i miei calcoli, trovo sempre che è uguale a $ x + 1/(x + sqrt(1 + x^2)) $
e inserendo questa espressione il risultato finale viene sbagliato!
qualcuno di voi saprebbe aiutarmi e dirmi dove ho sbagliato?
grazie mille per l'attenzione

[ciampax]

Se [tex]$x=\sinh t$[/tex] allora [tex]$\cosh t=\sqrt{1+\sinh^2 t}=\sqrt{1+x^2}$[/tex].

In ogni caso

[tex]$x+\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=x+\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-1-x^2}=x-x+\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+x^2}$[/tex]

[francisblues]

avevo la soluzione davanti agli occhi e non l'avevo vista!!!! vabbè, grazie mille per l'illuminazione ciampax!!