Integrale per sostituzione
$\intsqrt(1+x)/sqrt(1-x)dx$
sostituisco $x=cost$ ... $dx=-sentdt$
$\intsqrt(1-sent)/sqrt(1+sent)dt$
moltiplico num e den per $sqrt(1+sent)$
$\intcost/(1+sent)dt$
quindi la soluzione dovrebbe essere $ln|1+sent|$
qui però ho due problemi:
1) come faccio a trasformare t in x a sent? uscirebbe $sen(arcosx)$
2)sul libro il risultato è totalmente diverso... ridà $-arcosx-sqrt(1-x^2)$
aiuto grazie mille
sostituisco $x=cost$ ... $dx=-sentdt$
$\intsqrt(1-sent)/sqrt(1+sent)dt$
moltiplico num e den per $sqrt(1+sent)$
$\intcost/(1+sent)dt$
quindi la soluzione dovrebbe essere $ln|1+sent|$
qui però ho due problemi:
1) come faccio a trasformare t in x a sent? uscirebbe $sen(arcosx)$
2)sul libro il risultato è totalmente diverso... ridà $-arcosx-sqrt(1-x^2)$
aiuto grazie mille
Risposte
Più semplice "derazionalizzare" quel numeratore al primo passaggio, senza fare la sostituzione.
Infatti riesci a scrivere l'integrando come $(1+x)/(\sqrt(1-x^2))$, che integri facile (con arcocoseno e radice) spezzando la frazione.
I tuoi passaggi sono sbagliati perchè ti sei dimenticato un $-sin t$ da moltiplicare vicino al differenziale (dopo la sostituzione).
Infatti riesci a scrivere l'integrando come $(1+x)/(\sqrt(1-x^2))$, che integri facile (con arcocoseno e radice) spezzando la frazione.
I tuoi passaggi sono sbagliati perchè ti sei dimenticato un $-sin t$ da moltiplicare vicino al differenziale (dopo la sostituzione).
$\intsqrt(1+x)/sqrt(1-x)dx=intsqrt((1+x)/(1-x))dx=intsqrt((1+x)^2/(1-x^2))dx=int(1+x)/sqrt(1-x^2)dx=int1/sqrt(1-x^2)dx+intx/sqrt(1-x^2)dx= -arccosx-sqrt(1-x^2)+c$
Che ne dici, può andare?
Che ne dici, può andare?
Ci sono alcuni errori di calcolo, ma la tua idea è corretta.
Procediamo passo-passo: in $intsqrt(1+x)/sqrt(1-x)"d"x$ ci sono troppe radici, meglio moltiplicare denominatore e numeratore per $sqrt(1-x)$ e toglierne una. (Tu questo lo hai fatto dopo aver applicato la sostituzione. E' corretto, ma come "regola nasometrica": prima semplificare, poi fare cambiamenti di variabile).
Siamo arrivati a calcolare $intsqrt(1-x^2)/(1-x)"d"x$. Come proponi tu, cambiamo variabile:
${(x=cost), ("d"x=-sint"d"t) :}$ allora l'integrale diventa $int(-(sint)^2)/(1-cost)"d"t$, ma ci ricordiamo che $-(sint)^2=(cost)^2-1$ quindi dobbiamo calcolare:
$int((cost)^2-1)/(-(cost-1))"d"t$.
Scomponendo il numeratore nel prodotto di due quadrati otteniamo infine $-int(cost+1)"d"t$ una cui primitiva è $-sint-t$ come si verifica immediatamente.
Ora riportiamo tutto in $x$: quando $t$ e $x$ sono in opportuni intervalli sono legate dalla relazione $t=arccosx$, da cui una primitiva di $sqrt(1+x)/sqrt(1-x)$ è $-sin(arccosx))-arccos(x)$.
Che il risultato sia diverso da quello che dice il libro ce ne infischiamo. Non è detto che sia sbagliato; queste integrazioni indefinite, come sicuramente sai, non hanno un risultato univoco ma a meno di una costante e risultati corretti possono essere in apparenza molto diversi tra loro. L'unica maniera di controllare se il risultato è corretto è calcolarne la derivata:
$d/(dx) [-sin(arccosx))-arccos(x)]=(x+1)/(sqrt(1-x^2))=(x+1)/(sqrt(1+x)sqrt(1-x))=sqrt(1+x)/sqrt(1-x)$. Il risultato è corretto.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente ad @melia. La quale tra l'altro propone una soluzione drasticamente più corta di questo papirone!
Spero di essere stato utile lo stesso.
Procediamo passo-passo: in $intsqrt(1+x)/sqrt(1-x)"d"x$ ci sono troppe radici, meglio moltiplicare denominatore e numeratore per $sqrt(1-x)$ e toglierne una. (Tu questo lo hai fatto dopo aver applicato la sostituzione. E' corretto, ma come "regola nasometrica": prima semplificare, poi fare cambiamenti di variabile).
Siamo arrivati a calcolare $intsqrt(1-x^2)/(1-x)"d"x$. Come proponi tu, cambiamo variabile:
${(x=cost), ("d"x=-sint"d"t) :}$ allora l'integrale diventa $int(-(sint)^2)/(1-cost)"d"t$, ma ci ricordiamo che $-(sint)^2=(cost)^2-1$ quindi dobbiamo calcolare:
$int((cost)^2-1)/(-(cost-1))"d"t$.
Scomponendo il numeratore nel prodotto di due quadrati otteniamo infine $-int(cost+1)"d"t$ una cui primitiva è $-sint-t$ come si verifica immediatamente.
Ora riportiamo tutto in $x$: quando $t$ e $x$ sono in opportuni intervalli sono legate dalla relazione $t=arccosx$, da cui una primitiva di $sqrt(1+x)/sqrt(1-x)$ è $-sin(arccosx))-arccos(x)$.
Che il risultato sia diverso da quello che dice il libro ce ne infischiamo. Non è detto che sia sbagliato; queste integrazioni indefinite, come sicuramente sai, non hanno un risultato univoco ma a meno di una costante e risultati corretti possono essere in apparenza molto diversi tra loro. L'unica maniera di controllare se il risultato è corretto è calcolarne la derivata:
$d/(dx) [-sin(arccosx))-arccos(x)]=(x+1)/(sqrt(1-x^2))=(x+1)/(sqrt(1+x)sqrt(1-x))=sqrt(1+x)/sqrt(1-x)$. Il risultato è corretto.
P.S.: Scrivevo contemporaneamente ad @melia. La quale tra l'altro propone una soluzione drasticamente più corta di questo papirone!
Spero di essere stato utile lo stesso.
Una piccola aggiunta a ciò che dice dissonance: poiché $\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}$ abbiamo pure
$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}=\sqrt{1-x^2}$
da cui il risultato di @melia.
$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}=\sqrt{1-x^2}$
da cui il risultato di @melia.
grazie mille siete mitici!
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