Integrale per sostituzione

[barone_81]

Ciao,

anche su questo integrale mi sono bloccato,credo si debba procedere per sostituzione..
$ inte^-(2x)/(e^-(x)+1 )dy $

ho provato a sostiture
$ y=e^-(2x) $ e $ dy=-2e^-(2x) $

a questo punto dovrebbe venire
$ -1/2int-2/(sqrt( x)+1 )dy $

ma poi non so come andare avanti...

[Mephlip]

Prova a scrivere $e^{-2x}=e^{-x} e^{-x}$ e ad usare la sostituzione $y=e^{-x}$, è più adatta.

[barone_81]

"Mephlip":Prova a scrivere $e^{-2x}=e^{-x} e^{-x}$ e ad usare la sostituzione $y=e^{-x}$, è più adatta.

provo a ragionare a voce alta...
sostituisco come da te suggerito...
$ y=e^-x $ e quindi $ dy=e^-xdy $

a questo punto avrei

$ int y/(y+1) $

aggiungo e sottraggo 1 a numeratore e scompongo

$ int (y+1)/(y+1) - int 1/(y+1) $ la prima equivale a integrale di dy quindi $ e^-x $ mentre la seconda sarebbe


$ ln | y+1 | $
quindi il risultato sarebbe $ e^-x -ln|e^-x+1| $ ?

[Mephlip]

Hai sbagliato nel calcolare $ ext{d}y$, è $ ext{d}y=-e^{-x} ext{d}x$.

[pilloeffe]

Ciao barone_81,

Beh, no...

"barone_81":anche su questo integrale mi sono bloccato,credo si debba procedere per sostituzione..
$ \int e^(-2x)/(e^(-x)+1) dy $

Innanzitutto vorrei farti notare che così come l'hai scritto l'integrale è in $\text{d}y $ e pertanto è immediato:

$ \int e^(-2x)/(e^(-x)+1) \text{d}y = e^(-2x)/(e^(-x)+1) \int \text{d}y = e^(-2x)/(e^(-x)+1) y + c $

Supponendo invece che l'integrale proposto sia $ \int e^(-2x)/(e^(-x)+1) \text{d}x$, con la posizione che ti ha già suggerito Mephlip si ha $y = e^(-x) \implies \text{d}y = - e^(-x) \text{d}x = - y \text{d}x \implies \text{d}x = - (\text{d}y)/y$, pertanto si ha:

$ \int e^(-2x)/(e^(-x)+1) \text{d}x = \int y^2/(y+1) (- (\text{d}y)/y) = - \int y/(y+1) \text{d}y = - \int (y + 1 - 1)/(y+1) \text{d}y = - y + \int 1/(y+1) \text{d}y = $
$ = - y + ln|y + 1| + c = - e^{- x} + ln(e^{- x} + 1) + c $

[Bokonon]

"barone_81":
quindi il risultato sarebbe $ e^-x -ln|e^-x+1| $ ?

Ti hanno già segnalato l'errore ma intervengo per dirti:
a) ricordati sempre la costante
b) verifica da solo i calcoli facendo la derivata del risultato
c) butta sempre un occhio su ciò che stai scrivendo, non procedere come un PC. Per esempio $e^-x+1>0$ sempre. Per cui non serve il valore assoluto.