Integrale per sostituzione
Ciaoa tutti,
dovrei calcolare il segeunte integrale per sostituzione
$ int 1/(8+x^2)dx $
La soluzione mi dice che devo sostituire
$ x=2sqrt2t $
Non riesco a capire come ci arriva
Provodividendo per 8
$ (1/2^3)/((8/8+x^2/2^3) $
così al denominatore ho 1+qualcosa che dovra essere la mia t da elevare al quadrato immagino..
Ma poi?
$ int (1/2^3)/(1+x^2/2^3)dx $
$ t=sqrt(x^2/2^3 $
poi mi blocco
dovrei calcolare il segeunte integrale per sostituzione
$ int 1/(8+x^2)dx $
La soluzione mi dice che devo sostituire
$ x=2sqrt2t $
Non riesco a capire come ci arriva
Provodividendo per 8
$ (1/2^3)/((8/8+x^2/2^3) $
così al denominatore ho 1+qualcosa che dovra essere la mia t da elevare al quadrato immagino..
Ma poi?
$ int (1/2^3)/(1+x^2/2^3)dx $
$ t=sqrt(x^2/2^3 $
poi mi blocco
Risposte
Ciao! Il senso della sostituzione è quella di ricondursi all'integrale dell'arcotangente, ossia a
$$\int \frac{1}{1+s^2} \text{d}s=\arctan s + c$$
Dunque si cerca, tramite un'opportuna sostituzione, di far comparire la costante $1$ al posto dell'$8$ nella somma al denominatore; un modo per farlo è quello di trasformare il coefficiente $1$ del termine $x^2$ nel coefficiente $8$, perché così facendo si potrà raccogliere a fattor comune al denominatore e portare fuori dall'integrale e sperando che il differenziale dato da tale sostituzione non complichi ulteriormente la funzione integranda.
Perciò, notando che $(2\sqrt{2})^2=8$, si procede ponendo $x=2\sqrt{2}t \Rightarrow x^2=8t^2$; funziona? Sì, perché il differenziale è $\text{d}x=2\sqrt{2} \text{d}t$, ossia una costante, perciò ci si riconduce effettivamente all'integrale dell'arcotangente.
Anche il tuo approccio va bene, ma devi fare un'altra sostituzione simile all'approccio che propone la soluzione e non quella che hai proposto; la tua non funziona perché, seppur trasforma il termine al quadrato al denominatore in uno di primo grado, ha come differenziale una quantità che complica notevolmente l'integrale.
$$\int \frac{1}{1+s^2} \text{d}s=\arctan s + c$$
Dunque si cerca, tramite un'opportuna sostituzione, di far comparire la costante $1$ al posto dell'$8$ nella somma al denominatore; un modo per farlo è quello di trasformare il coefficiente $1$ del termine $x^2$ nel coefficiente $8$, perché così facendo si potrà raccogliere a fattor comune al denominatore e portare fuori dall'integrale e sperando che il differenziale dato da tale sostituzione non complichi ulteriormente la funzione integranda.
Perciò, notando che $(2\sqrt{2})^2=8$, si procede ponendo $x=2\sqrt{2}t \Rightarrow x^2=8t^2$; funziona? Sì, perché il differenziale è $\text{d}x=2\sqrt{2} \text{d}t$, ossia una costante, perciò ci si riconduce effettivamente all'integrale dell'arcotangente.
Anche il tuo approccio va bene, ma devi fare un'altra sostituzione simile all'approccio che propone la soluzione e non quella che hai proposto; la tua non funziona perché, seppur trasforma il termine al quadrato al denominatore in uno di primo grado, ha come differenziale una quantità che complica notevolmente l'integrale.
Ciao barone_81,
Nell'ottica di pervenire all'integrale dell'arcotangente che ti ha già scritto Mephlip, per comprendere la ragione della sostituzione suggerita dal testo dell'esercizio conviene procedere come segue:
$ \int 1/(8+x^2)\text{d}x = 1/8 \int 1/(1+x^2/8) \text{d}x = 1/8 \int 1/(1+ (x/(2sqrt(2)))^2) \text{d}x = 1/(2 sqrt2)^2 \int 1/(1+ (x/(2sqrt(2)))^2) \text{d}x $
A questo punto dovrebbe esserti chiaro perché il testo dell'esercizio suggerisce la posizione $x = 2 sqrt(2) t \implies \text{d}x = 2 sqrt(2) \text{d}t $
"barone_81":
Non riesco a capire come ci arriva
Nell'ottica di pervenire all'integrale dell'arcotangente che ti ha già scritto Mephlip, per comprendere la ragione della sostituzione suggerita dal testo dell'esercizio conviene procedere come segue:
$ \int 1/(8+x^2)\text{d}x = 1/8 \int 1/(1+x^2/8) \text{d}x = 1/8 \int 1/(1+ (x/(2sqrt(2)))^2) \text{d}x = 1/(2 sqrt2)^2 \int 1/(1+ (x/(2sqrt(2)))^2) \text{d}x $
A questo punto dovrebbe esserti chiaro perché il testo dell'esercizio suggerisce la posizione $x = 2 sqrt(2) t \implies \text{d}x = 2 sqrt(2) \text{d}t $
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