Integrale per sostituzione

[Robert9669]

Salve boys devo calcolare questo integrale $ int_(0)^(Pi/2 ) (3sin(t))/(4(1-cos(t)^(3/4)))dt $

sono andato per sostituzione:

$x=cost(t)$ $dx=-sen(t)$

E ho:

$ int_()^() -(3)/(4(1-x)^(3/4)) dx $

da qui non saprei come procedere :V

[Oiram92]

Non si capisce se è il coseno ad essere elevato a 3/4 o l'intera parentesi. Se l'integrale scritto correttamente è :

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{3sin(t)}{4(1-cos(t))^{\frac{3}{4}}} dt \)

prova a sostituire diversamente. Un'idea sarebbe quella di usare \(\displaystyle x= 1 - cos(t) \) no?

[Robert9669]

Si hai ragione ho sbagliato io a scrivere infatti nella sostituzione ho scritto giusto comunque anche sostituendo così mi blocco nel calcolo :V

[Oiram92]

Dunque, effettuando la sostituzione :

\(\displaystyle x = 1 - cos(t) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; dx = - (-sin(t)) \; dt = sin(t) \; dt \)

quindi dovremo cambiare gli estremi di integrazione o procedere con un integrale indefinito e poi sostituire a ritroso. In questo caso procediamo con il secondo metodo perchè è più semplice (sai spiegarmi il perchè? prova a determinare i nuovi estremi di integrazione). Quindi, a seguito della sostituzione scriviamo l'integrale indefinito:

\(\displaystyle \int \frac{3}{4 \cdot x^{\frac{3}{4}}} dx = \frac{3}{4} \int x^{- \frac{3}{4}} dx \)

e questo è un integrale notevole di cui si conosce già la famiglia di soluzioni. A questo punto sostituisci a ritroso il valore di \(\displaystyle x \) (cioè \(\displaystyle x= 1 - cos(t) \)). In questo modo ottieni :

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{3sin(t)}{4(1-cos(t))^{\frac{3}{4}}} dt = \frac{3}{4} \cdot \left [ \frac{(1-cos(t))^{\frac{1}{4}} }{\frac{1}{4}} \right ]_{0}^{\pi/2} = 3 \)

[Robert9669]

Penso più o Meno di aver capito grazie mille!