Integrale per sostituzione

[Sk_Anonymous]

Ciao ragazzi,
mi aiutate a risolvere questo integrale:
$\int log(1+arctan^2(2x)) 1/(1+4x^2) dx$

L'esercizio mi propone di effettuare la seguente sostituzione $arctan(2x)=t$
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto.

[sapo931]

Allora

$\int log(1+arctan^2(2x)) 1/(1+4x^2) dx$

facendo la sostituzione
$arctan(2x)=t$ $dt = \frac{2}{4x^{2} + 1}dx$

l'integrale diventa

$\int 2log(1+t^2) dt$

integrando per parti

$ f = log(1+t^2) $
$ f' = \frac{2t}{1+t^2} $
$ g' = 1 $
$g = t $

applicando la forumula $\int fg' = fg - \int f'g $ si ottiene

$ 2(tlog(1+t^2) - 2\int \frac{t^2}{t^2 + 1}dt) $

sommando e sottraendo al numeratore $1$, e moltiplicando il $2$, si ottiene

$ 2tlog(1+t^2) - 4\int \frac{t^2 + 1 - 1}{t^2 + 1}dt $

e quindi dividendo la frazione

$\frac{t^2 +1 - 1}{t^2 + 1} = \frac{t^2 + 1}{t^2 + 1} - \frac{1}{t^2 + 1} = 1 - \frac{1}{t^2 + 1}$

e separando gli integrali

$ 2tlog(1+t^2) - 4\int dt + 4\int \frac{1}{t^2 + 1}dt $

da cui, siccome $\int \frac{1}{t^2 + 1}dt = arctan(t) $

$ 2tlog(1+t^2) - 4t + 4arctan(t) $

risostituendo $ t = arctan(2x)$ si ottiene quindi il risultato finale

$ 2arctan(2x)log(1+arctan^{2}(2x)) - 4arctan(2x) + 4arctan(arctan(2x)) +C $

raccogliendo

$ 2arctan(2x)(log(1+arctan^{2}(2x)) - 2) + 4arctan(arctan(2x)) +C $

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio