Integrale per Sostituzione
Ciao ragazzi, ho un problema con un integrale.
L'integrale è il seguente: $ int_(2)^(0) (x-2)/sqrt(16-x^2) dx $
Io ho provato a fare la sostituzione con: $ t=sqrt(16-x^2) rarr t=4-x $
e con $ dx=-dt $
Avevo dubbi sulla correttezza o meno di tale sostituzione.
L'integrale è il seguente: $ int_(2)^(0) (x-2)/sqrt(16-x^2) dx $
Io ho provato a fare la sostituzione con: $ t=sqrt(16-x^2) rarr t=4-x $
e con $ dx=-dt $
Avevo dubbi sulla correttezza o meno di tale sostituzione.
Risposte
"Plutarca":
$ t=sqrt(16-x^2) rarr t=4-x $
Ma che è?!
Questo passaggio non è sbagliato, di più!
"Emar":
[quote="Plutarca"]$ t=sqrt(16-x^2) rarr t=4-x $
Ma che è?!
Questo passaggio non è sbagliato, di più![/quote]Ecco, proprio su quello avevo dubbi
Il passaggio corretto è: $ t=sqrt(x^2-16) rarr t^2=x^2-16 rarr x^2=t^2+16 rarr x= +- sqrt(t^2+16) $ ?
Ora è ok 
"Emar":
Ora è ok
Allora quella sostituzione non mi serve a niente, avete altri suggerimenti?
Per prima cosa spezza il numeratore, così avrai due integrali molto più semplici da calcolare separatamente.
"Emar":
Per prima cosa spezza il numeratore, così avrai due integrali molto più semplici da calcolare separatamente.
Quindi verrebbe $ 2*int_(2)^(0) (x/sqrt(16-x^2))-1/sqrt(16-x^2) dx $
No, così:
$ int_(2)^(0) (x/sqrt(16-x^2))-2/sqrt(16-x^2) dx $
o se proprio vuoi raccogliere il 2:
$ 2*int_(2)^(0) (x/(2 * sqrt(16-x^2)))-1/sqrt(16-x^2) dx $
Ora puoi dividere l'integrale in due integrali sfruttando l'additività dell'operatore di integrazione.
EDIT: Avevo dimenticato anch'io un $2$
$ int_(2)^(0) (x/sqrt(16-x^2))-2/sqrt(16-x^2) dx $
o se proprio vuoi raccogliere il 2:
$ 2*int_(2)^(0) (x/(2 * sqrt(16-x^2)))-1/sqrt(16-x^2) dx $
Ora puoi dividere l'integrale in due integrali sfruttando l'additività dell'operatore di integrazione.
EDIT: Avevo dimenticato anch'io un $2$
"Emar":
No, così:
$ int_(2)^(0) (x/sqrt(16-x^2))-2/sqrt(16-x^2) dx $
o se proprio vuoi raccogliere il 2:
$ 2*int_(2)^(0) (x/(2 * sqrt(16-x^2)))-1/sqrt(16-x^2) dx $
Ora puoi dividere l'integrale in due integrali sfruttando l'additività dell'operatore di integrazione.
EDIT: Avevo dimenticato anch'io un $2$
Si ma facendo $ int_(2)^(0) (x/sqrt(16-x^2)) - 2*int_(2)^(0) (1/sqrt(16-x^2)) $ non risolvo un gran chè
Eccome no! Guardiamo il primo, prova a riscriverlo così:
\[\int_2^0 (x)(16-x^2)^{(-1/2)}dx\]
Non ti ricorda qualcosa?
\[\int_2^0 (x)(16-x^2)^{(-1/2)}dx\]
Non ti ricorda qualcosa?
"Emar":
Eccome no! Guardiamo il primo, prova a riscriverlo così:
\[\int_2^0 (x)(16-x^2)^{(-1/2)}dx\]
Non ti ricorda qualcosa?
Nel primo se non ci fosse quella x davanti sarebbe un integrale notevole (infatti il secondo lo è), quindi si potrebbe fare per parti, giusto?
EDIT: Il secondo "viene fuori" $ -2 * (sqrt(16-x^2)/(1/2)) " $ da calcolare naturalmente tra 0 e 2
ma no per parti! Quanto vale la derivata di $f(x)^k$? Risponditi e vedrai che quell'integrale è una banalità 
"Emar":
ma no per parti! Quanto vale la derivata di $f(x)^k$? Risponditi e vedrai che quell'integrale è una banalità
Vale $ k*f(x)^(k-1) $ però c'è quella x davanti che mi mette in confusione.
"Plutarca":
Vale $ k*f(x)^(k-1) $ però c'è quella x davanti che mi mette in confusione.
No! è sbagliato! vale $k*f'(x)*f(x)^(k-1)$.
"Emar":
[quote="Plutarca"]
Vale $ k*f(x)^(k-1) $ però c'è quella x davanti che mi mette in confusione.
No! è sbagliato! vale $k*f'(x)*f(x)^(k-1)$.[/quote]
Scusa, ma continua a non venirmi in mente niente
\[-\frac{1}{2}\int_2^0 (-2x)(16-x^2)^{(-1/2)}dx\]
Neanche così? Pensa all'ultima formula che ho scritto prima!
Neanche così? Pensa all'ultima formula che ho scritto prima!
"Emar":
\[-\frac{1}{2}\int_2^0 (-2x)(16-x^2)^{(-1/2)}dx\]
Neanche così? Pensa all'ultima formula che ho scritto prima!
Così si, l'integrale completo torna $ -2 * (sqrt(16-x^2)/(1/2)) - 1/2 *sqrt(16-x^2) $ calcolato tra 0 e 2 (sperando di non aver cannato il primo
)Non capisco un ultima cosa, per far "comparire" $ -2x $ hai moltiplicato per $ -2 $ e diviso per $ -1/2 $ portando fuori quest'ultimo?
EDIT: In poche parole ho completamente dimenticato l'esistenza dell'integrale notevole $ int_()^() (f'(x)*(f(x)^k)=f(x)^(k+1) $
"Plutarca":
(sperando di non aver cannato il primo
Infatti hai cannato in pieno il secondo!
"Plutarca":
Non capisco un ultima cosa, per far "comparire" $ -2x $ hai moltiplicato per $ -2 $ e diviso per $ -1/2 $ portando fuori quest'ultimo?
Si esatto
"Plutarca":
EDIT: In poche parole ho completamente dimenticato l'esistenza dell'integrale notevole $ int_()^() (f'(x)*(f(x)^k)=f(x)^(k+1) $
Ho cercato in tutti i modi di fartelo ricordare
EDIT: L'ultima formula è sbagliata, devi dividere alla fine per $k+1$
"Emar":
[quote="Plutarca"](sperando di non aver cannato il primo
Infatti hai cannato in pieno il secondo!
"Plutarca":
Non capisco un ultima cosa, per far "comparire" $ -2x $ hai moltiplicato per $ -2 $ e diviso per $ -1/2 $ portando fuori quest'ultimo?
Si esatto
"Plutarca":
EDIT: In poche parole ho completamente dimenticato l'esistenza dell'integrale notevole $ int_()^() (f'(x)*(f(x)^k)=f(x)^(k+1) $
Ho cercato in tutti i modi di fartelo ricordare
EDIT: L'ultima formula è sbagliata, devi dividere alla fine per $k+1$[/quote]
Quindi in fin dei conti se divido per $ k+1 $ ( in questo caso $ 1/2 $ ) il risultato finale del secondo è $ - sqrt(16-x^2) $
Grazie 1000!
Si il risultato del primo integrale è quello. Ora devi calcolare il secondo:
\[\int_2^0 \frac{1}{\sqrt(16-x^2)}dx\]
Che prima hai cannato completamente
\[\int_2^0 \frac{1}{\sqrt(16-x^2)}dx\]
Che prima hai cannato completamente
"Emar":
Si il risultato del primo integrale è quello. Ora devi calcolare il secondo:
\[\int_2^0 \frac{1}{\sqrt(16-x^2)}dx\]
Che prima hai cannato completamente
Sostituendo con $ 4-sin(t) $?
$ x=4sin(t) $
$ dx = 4cos(t) dt $
Viene fuori $ int_(0)^(2) ( (4cos(t)) / sqrt(16-16sin^2t) ) rarr int_(0)^(2) ( (4cos(t)) /( 4 sqrt(1-sin^2t)) ) rarr int_(0)^(2) ( (4cos(t)) / (4 sqrt(cos^2(t))) ) rarr int_(0)^(2) ( (4cos(t)) / (4cos(t)) ) rarr int_(0)^(2) ( 1 ) $
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