Integrale per sostituzione

[Marotronic]

Salve, vorrei proporvi questa funzione da integrare ed avere eventualmente la vostra opinione se i miei passaggi sono corretti

[Lory314]

Dividi per 7 numeratore e denominatore e ti riconducia alla derivata di $\arctan$

[Marotronic]

solo che dividendo per 7 al denominatore mi rimane una differenza ed è lo stesso dividendo per - 7 quando la derivata dell arcotangente e una somma al denominatore

[Lory314]

Scusa, ho letto troppo velocemente il testo.
Allora puoi procedere così
$\frac{2}{7-t^2} = \frac{A}{\sqrt{7}-t}+\frac{B}{\sqrt{7}+t}$ con $A,B \in \mathbb{R}$
$\frac{2}{7-t^2} = \frac{A}{\sqrt{7}-t}+\frac{B}{\sqrt{7}+t} = \frac{(A+B)\sqrt{7} + (A-B)t}{(\sqrt{7}-t)(\sqrt{7}+t)}$.
Ora imponi che il numeratore sia uguale a $2$.
Quindi $A-B=0$ e $(A+B)\sqrt{7}=2$. Trovi $A=B=\frac{1}{\sqrt{7}}$.
Ora sostituisci in $ \frac{A}{\sqrt{7}-t}+\frac{B}{\sqrt{7}+t}$ e ti riconduci a 2 integrali che dovrebbero dare qualche logaritmo

[Gi81]

Pero' non credo che si arrivi a quel punto. Infatti \(\displaystyle \frac{1}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}} =\frac{1}{\frac{3+3t^2+1-t^2}{1+t^2}} =\frac{1}{\frac{4+2t^2}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{2(2+t^2)} \)