Integrale per parti in $RR^n$
Ciao a tutti,
non riesco a derivare la formula dell'integrale per parti in $RR^n$
Sia $U\subRR^n$
$\int_U [\partialf]/[\partialx^i] \ g \ dx=\int_U [\partial(f*g)]/[\partialx^i] \ dx- \int_U [\partialg]/[\partialx^i] \ f \ dx$
ora, anche scomponendo il primo termine del secondo membro con il th di fubini, non troverei di certo la frontiera di $U$, ma dovrei invece scomporre $U$ come prodotto cartesiano di due insiemi... non riesco ad arrivare alla formula analoga... come si fa?
non riesco a derivare la formula dell'integrale per parti in $RR^n$
Sia $U\subRR^n$
$\int_U [\partialf]/[\partialx^i] \ g \ dx=\int_U [\partial(f*g)]/[\partialx^i] \ dx- \int_U [\partialg]/[\partialx^i] \ f \ dx$
ora, anche scomponendo il primo termine del secondo membro con il th di fubini, non troverei di certo la frontiera di $U$, ma dovrei invece scomporre $U$ come prodotto cartesiano di due insiemi... non riesco ad arrivare alla formula analoga... come si fa?
Risposte
Sicuro sia quella la formula?
Io ho sempre chiamato formula di integrazione per parti la seguente (sottointendo la dipendenza da [tex]$x$[/tex]):
[tex]$\int_U \frac{\partial f}{\partial x_i} \ g\text{ d} x = \int_{\partial U} f \ g \ \nu_i \text{ d} \sigma -\int_U \frac{\partial g}{\partial x_i} \ f\text{ d} x$[/tex]
in cui [tex]$\nu_i$[/tex] è la [tex]$i$[/tex]-esima componente del versore [tex]$\nu$[/tex] normale esterno a [tex]$\partial U$[/tex] e [tex]$\text{d} \sigma$[/tex] è la misura di superficie su [tex]$\partial U$[/tex].
Per provare la formula, basta applicare il Teorema di Gauss-Green:
[tex]$\int_U \frac{\partial u}{\partial x_i} \text{ d} x =\int_{\partial U} u\ \nu_i \text{ d} \sigma$[/tex]
alla funzione [tex]$u=f\ g$[/tex].
Io ho sempre chiamato formula di integrazione per parti la seguente (sottointendo la dipendenza da [tex]$x$[/tex]):
[tex]$\int_U \frac{\partial f}{\partial x_i} \ g\text{ d} x = \int_{\partial U} f \ g \ \nu_i \text{ d} \sigma -\int_U \frac{\partial g}{\partial x_i} \ f\text{ d} x$[/tex]
in cui [tex]$\nu_i$[/tex] è la [tex]$i$[/tex]-esima componente del versore [tex]$\nu$[/tex] normale esterno a [tex]$\partial U$[/tex] e [tex]$\text{d} \sigma$[/tex] è la misura di superficie su [tex]$\partial U$[/tex].
Per provare la formula, basta applicare il Teorema di Gauss-Green:
[tex]$\int_U \frac{\partial u}{\partial x_i} \text{ d} x =\int_{\partial U} u\ \nu_i \text{ d} \sigma$[/tex]
alla funzione [tex]$u=f\ g$[/tex].
si in effetti è proprio a qualcosa del genere che volevo arrivare, ma evidentemente avevo imboccato un vicolo cieco!
Grazie, Ciao
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