Integrale per parti - funzione iperbolica

[simki]

Ciao
Non riesco a capire come risolvere questo integrale
$ int Ch^2(x)dx $ ed ottenere questo risultato $ (Sh(x)Ch(x)+x)/2+c $

[jack5675]

Ciao simki
per risolvere questo integrale ti sconsiglio la risoluzione per parti credo che la strada migliore sia lavorare su $ Ch^2(x) $ come ben saprai $ Ch^2(x)-Sh^2(x)=1 $ ricordando che $ Ch(2x)=Ch^2(x)+Sh^2(x) $
combinando le due si ottiene:
$ Ch^2(x)=(1+Ch(2x))/2 $
ora l'integrale diventa
$ int Ch^2(x)dx= int (1+Ch(2x))/2dx $ che puoi risolvere in modo agevole

[simki]

Grazie per la risposta, ma non riesco a capire come utilizzare quelle due equivalenze per ottenere $Ch^2(x)=(1+Ch(2x))/2$

[jack5675]

La risposta è molto semplice abbiamo:
$ Ch^2(x)-Sh^2(x)=1 $ e $ Ch(2x)=Ch^2(x)+Sh^2(x) $
dalla seconda possiamo scrivere :
$ Sh^2(x)=Ch(2x)-Ch^2(x) $
sostituendola nella prima si ottiene

$ Ch^2(x)-Ch(2x)+Ch^2(x)=1 $
che riscritta opportunamente è :

$ Ch^2(x)=(1+Ch(2x))/2 $
Spero ti sia chiaro!

[simki]

Sisi, grazie ancora.
Però ho un dubbio su un procedimento che ho provato ad adottare, cioè il seguente
$ int Ch^2(x)dx = int Ch(x)*Ch(x)dx $ poi, operando per parti, ottengo
$ Ch(x)Sh(x) -int Sh^2(x)dx $ procendo ancora per parti ottengo
$ Ch(x)Sh(x) - { Sh(x)Ch(x) - int Ch^2(x)dx } $
E quindi a questo punto ho
$int Ch^2(x)dx = Ch(x)Sh(x) - { Sh(x)Ch(x) - int Ch^2(x)dx }$
$ = int Ch^2(x)dx = Ch(x)Sh(x) - Sh(x)Ch(x) + int Ch^2(x)dx $
E quest'ultima espressione fa $0$. In che cosa ho sbagliato?

[simki]

Comunque grazie al tuo aiuto jack5675 sono riuscito ad ottenere il risultato che volevo, cioè $(Sh(x)Ch(x)+x)/2+c$
ma semplicemente utilizzando l'identità $Ch^2(x) - Sh^2(x) = 1$ e quindi integrando
$ int Ch^2(x)dx = int 1dx + intSh^2(x)dx $ di cui il primo direttamente ed il secondo per parti ponendo $int Sh^2(x)dx = int Sh(x)*Sh(x)dx$, ottenendo così un integrale del tipo $2intI = xy + z -> intI = (xy + z)/2 $
(L'ho scritto per rendere completo questo argomento e dare una risposta definitiva alla domanda )