Integrale per parti: e^x sen^2(x)
Ciao! ho risolto questo esercizio ma sembra non coincidere con la soluzione del testo: $int e^x*sen^2x*dx$
Integro per parti:
$f(x)=sen^2x$, e la sua derivata $f'(x)=2senxcosx= sen2x$
$g'(x)=e^x$, e la sua primitiva $g(x)=e^x$
quindi: $int e^x*sen^2x*dx = e^x*sen^2x - int e^x*sen2x dx$
integro per parti $int e^x*sen2x dx$
$f(x)=sen2x$, e la sua derivata $f'(x)=2cos2x$
$g'(x)=e^x$, e la sua primitiva $g(x)=e^x$
quindi: $int e^xsen2x dx = e^x*sen2x - int 2e^xcos2x*dx$
integro per parti $int 2e^xcos2x*dx$
$f(x)=cos2x$, e la sua derivata $f'(x)= -2sen2x$
$g'(x)=2e^x$, e la sua primitiva $g(x)=2e^x$
quindi: $int 2e^xcos2xdx = 2e^x*cos2x - int2e^x*(-2sen2x)dx = 2e^xcos2x + 4inte^xsen2xdx$
Allora: $int e^xsen2x dx = e^xsen2x - int 2e^xcos2xdx = e^xsen2x -2e^xcos2x - 4inte^xsen2xdx$
cioè: $5int e^xsen2x dx = e^xsen2x -2e^xcos2x$ ---> $int e^xsen2x dx = 1/5e^xsen2x - 2/5e^xcos2x$
E Allora $int e^xsen^2xdx = e^xsen^2x - int e^xsen2x dx = e^xsen^2x - 1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x$
Confronto con il risultato del libro: $e^x/10*(5 - 2sen2x -cos2x) + c$
Dove ho sbagliato?
Grazie
Piffo
Integro per parti:
$f(x)=sen^2x$, e la sua derivata $f'(x)=2senxcosx= sen2x$
$g'(x)=e^x$, e la sua primitiva $g(x)=e^x$
quindi: $int e^x*sen^2x*dx = e^x*sen^2x - int e^x*sen2x dx$
integro per parti $int e^x*sen2x dx$
$f(x)=sen2x$, e la sua derivata $f'(x)=2cos2x$
$g'(x)=e^x$, e la sua primitiva $g(x)=e^x$
quindi: $int e^xsen2x dx = e^x*sen2x - int 2e^xcos2x*dx$
integro per parti $int 2e^xcos2x*dx$
$f(x)=cos2x$, e la sua derivata $f'(x)= -2sen2x$
$g'(x)=2e^x$, e la sua primitiva $g(x)=2e^x$
quindi: $int 2e^xcos2xdx = 2e^x*cos2x - int2e^x*(-2sen2x)dx = 2e^xcos2x + 4inte^xsen2xdx$
Allora: $int e^xsen2x dx = e^xsen2x - int 2e^xcos2xdx = e^xsen2x -2e^xcos2x - 4inte^xsen2xdx$
cioè: $5int e^xsen2x dx = e^xsen2x -2e^xcos2x$ ---> $int e^xsen2x dx = 1/5e^xsen2x - 2/5e^xcos2x$
E Allora $int e^xsen^2xdx = e^xsen^2x - int e^xsen2x dx = e^xsen^2x - 1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x$
Confronto con il risultato del libro: $e^x/10*(5 - 2sen2x -cos2x) + c$
Dove ho sbagliato?
Grazie
Piffo
Risposte
"Piffuz88":
E Allora $int e^xsen^2xdx = e^xsen^2x - int e^xsen2x dx = e^xsen^2x - 1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x$
Confronto con il risultato del libro: $e^x/10*(5 - 2sen2x -cos2x) + c$
Non hai sbagliato.
Applica le formule di bisezione e duplicazione in particolare:
$sen^2x=(1-cos2x)/2$
Così ti trovi
Ok ci sono...
Il risultato del libro è: $e^x/10*(5 - 2sen2x -cos2x) + c = 1/2e^x - 1/5e^xsen2x - 1/10e^xcos2x +c$
il mio risultato è: $e^xsen^2x - 1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x +c$
sapendo che: $sen(x/2)= sqrt(((1-cosx)/2))$, allora: $sen2(x/2)=senx=sqrt(((1-cos2x)/2))$, e quindi:$sen^2x= (1-cos2x)/2$
Il mio risultato si sviluppa così: $e^xsen^2x - 1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x +c = e^x*((1-cos2x)/2) -1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x +c = 1/2e^x -1/2e^xcos2x -1/5e^xsen2x +2/5e^xcos2x +c =$
$= 1/2e^x -1/5e^xsen2x -1/10e^xcos2x +c = e^x/10*(5 - 2sen2x -cos2x) + c$
Grazie mille...spesso mi perdo in un bicchier d'acqua...
Piffo
Il risultato del libro è: $e^x/10*(5 - 2sen2x -cos2x) + c = 1/2e^x - 1/5e^xsen2x - 1/10e^xcos2x +c$
il mio risultato è: $e^xsen^2x - 1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x +c$
sapendo che: $sen(x/2)= sqrt(((1-cosx)/2))$, allora: $sen2(x/2)=senx=sqrt(((1-cos2x)/2))$, e quindi:$sen^2x= (1-cos2x)/2$
Il mio risultato si sviluppa così: $e^xsen^2x - 1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x +c = e^x*((1-cos2x)/2) -1/5e^xsen2x + 2/5e^xcos2x +c = 1/2e^x -1/2e^xcos2x -1/5e^xsen2x +2/5e^xcos2x +c =$
$= 1/2e^x -1/5e^xsen2x -1/10e^xcos2x +c = e^x/10*(5 - 2sen2x -cos2x) + c$
Grazie mille...spesso mi perdo in un bicchier d'acqua...
Piffo
Perfetto
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