Integrale per parti
E' facile ma sbaglio i calcoli. Non so dove, qualcuno potrebbe aiutarmi ?
$\int x^2 / sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2) - \int -sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2) + xsqrt(1-x^2) + 1/2 \int 2x/sqrt(1-x^2) dx = 1/2 arcsen x + c. $
Il libro dà: $ -1/2xsqrt(1-x^2) + 1/2 arcsen x + c $
Quindi sicuramente sbaglio una derivata ma non riesco a capire quale !
Aiuto, per favore.
$\int x^2 / sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2) - \int -sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2) + xsqrt(1-x^2) + 1/2 \int 2x/sqrt(1-x^2) dx = 1/2 arcsen x + c. $
Il libro dà: $ -1/2xsqrt(1-x^2) + 1/2 arcsen x + c $
Quindi sicuramente sbaglio una derivata ma non riesco a capire quale !
Aiuto, per favore.
Risposte
Così a primo colpo ti posso dire che la derivata dell'arcoseno non è quella che pensi tu:
essa è:
${f'(x)}/{\sqrt{1-f^2(x)}}$ quindi se $f(x)=x:1/\sqrt{1-x^2}\nex/\sqrt{1-x^2}$
essa è:
${f'(x)}/{\sqrt{1-f^2(x)}}$ quindi se $f(x)=x:1/\sqrt{1-x^2}\nex/\sqrt{1-x^2}$
Ok ok, la derivata dell'arcsen x è chiara. Il problema è che "farsi venire il risultato" (conoscendolo) è un approccio che ti può indurre all'errore.
Cmq credo di aver risolto così:
$\int x^2 / sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2) + \int sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2)+\int sqrt(1-x^2) * (sqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)) dx = $
$=-xsqrt(1-x^2)+\int (1-x^2)/sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2)+\int 1/sqrt(1-x^2)dx - \int x^2/sqrt(1-x^2)dx = $
$=-xsqrt(1-x^2)+arcsen x- \int x^2/sqrt(1-x^2) = 1/2(-xsqrt(1-x^2)+arcsen x) +c $
L'idea, dopo l'integrazione per parti, è quella di razionalizzare. Qualche conferma ....
Grazie....
Cmq credo di aver risolto così:
$\int x^2 / sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2) + \int sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2)+\int sqrt(1-x^2) * (sqrt(1-x^2)/sqrt(1-x^2)) dx = $
$=-xsqrt(1-x^2)+\int (1-x^2)/sqrt(1-x^2) dx = -xsqrt(1-x^2)+\int 1/sqrt(1-x^2)dx - \int x^2/sqrt(1-x^2)dx = $
$=-xsqrt(1-x^2)+arcsen x- \int x^2/sqrt(1-x^2) = 1/2(-xsqrt(1-x^2)+arcsen x) +c $
L'idea, dopo l'integrazione per parti, è quella di razionalizzare. Qualche conferma ....
Grazie....
Allora questo integrale si comincia aggiungendo 1 e -1 al numeratore, usciranno 2 integrali di cui uno e l'integrale immediato dell'arcsenx mentre l'altro si fa per sostituzione ponendo x=sent
Ciao!
Ciao!
D'accordo, ma come l'ho risolto io è sbagliato ?
No, il tuo calcolo è corretto, Anto.
.... beh, se si va per sostituzione (x= sen t) non c'è neanche bisogno di sommare/sottrarre 1.....
Si arriva all'integrale $\int sen^2t dt $ che si risolve per parti, non trovi ?
Io volevo solo sapere se i passaggi che ho fatto sono leciti, in particolare quella razionalizzazione.
Si arriva all'integrale $\int sen^2t dt $ che si risolve per parti, non trovi ?
Io volevo solo sapere se i passaggi che ho fatto sono leciti, in particolare quella razionalizzazione.
Si i tuoi passaggi sono corretti!
Poi è un'integrale che puoi risolvere in vari modi, quel $sen^2t$ lo puoi risolvere pure con le formule di bisezione.
Ciao.
Poi è un'integrale che puoi risolvere in vari modi, quel $sen^2t$ lo puoi risolvere pure con le formule di bisezione.
Ciao.
"fireball":
No, il tuo calcolo è corretto, Anto.
Ma scusa Anto, questo non l'hai letto?
Si, scusa fireball, mi hai preceduto di poco e mentre postavo il mio, non mi sono accorto del tuo.
Scusa ancora !
Antonio
Scusa ancora !
Antonio
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