Integrale (per parti?)

[fluspiral]

Salve a tutti,
ho questo integrale:
$\int ((x^2+1)log(x-1))/(x-1) dx$
ho provato a svolgerlo per parti, ho notato che al denominatore c'è la derivata del logaritmo e svolgendo per parti sono arrivato a:
$(x^2+1)log^2(x-1)-\int 2x log^2(x-1)dx$
come potrei proseguire adesso?

[Lo_zio_Tom]

essendo:


$log(x-1)*1/(x-1)=f*f'$

è evidente che basta sostituire $log(x-1)=t$ per trovarsi con un integrale praticamente immediato...(con una somma di integrali da fare per parti ma talmente semplici da farsi quasi mentalmente....)

[fluspiral]

Non riesco a venirne a capo
Se sostituisco $t=log(x-1)$ allora $x=e^t+1$ dove $dx=e^t dt$
l'integrale sarà $\int ((e^t +1)^2 +1) t e^t dt = \int te^(3t) +2te^(2t)+2te^t dt$ che svolgendolo non mi da la soluzione. Dove sbaglio?

[Lo_zio_Tom]

io l'ho svolto in 3 passaggi e, controllando ex post il risultato con Wolfram Alpha[nota]anche se il controllo migliore sarebbe quello fare la derivata del risultato[/nota], mi torna tutto....

sostituendo $log(x-1)=t$ ottengo subito

$int(te^(2t)+2te^t+2t)dt$

che è la somma di 3 integrali quasi immediati. Tu hai messo un $e^t$ di troppo ( ti sei dimenticato che nell'integranda c'è anche $1/(x-1)$). Comunque con molti meno passaggi ottieni:

$log(x-1)=t$

$1/(x-1)dx=dt$

quindi $log(x-1)*1/(x-1)dx=tdt$

[fluspiral]

Ahhhh vero, non avevo considerato il denominatore nella sostituzione,
Grazie mille sei stato gentilissimo