Integrale, passaggio sbagliato?
$int^(+infty)_1(x^2+x+1)/(x^2(x^2+1))$
questo è l'integrale da calcolare e capire dove converge, se converge.
sono partito nel trovare la soluzione dell'integrale indefinito.
$int (A/x + B/(x^2) + (Cx+D)/(x^2+1))$
trovo $A$ $B$ $C$ $D$:
$Ax^2+Ax^2+A+Bx+Bx^2+B+Cx^2+Cx^3+Dx+Dx^2$
$A=0$
$B=1$
$C=0$
$D=0$
mi rimane pertanto
$int 1/x^2$
tale è uguale a $-1/x$
tuttavia è definito e allora si ha:
$[-1/x]^(+infty)_1$
e il $lim_(x->infty)-1/t+1=1$ converge a $1$
di questo integrale ho sbagliato qualche procedimento?
questo è l'integrale da calcolare e capire dove converge, se converge.
sono partito nel trovare la soluzione dell'integrale indefinito.
$int (A/x + B/(x^2) + (Cx+D)/(x^2+1))$
trovo $A$ $B$ $C$ $D$:
$Ax^2+Ax^2+A+Bx+Bx^2+B+Cx^2+Cx^3+Dx+Dx^2$
$A=0$
$B=1$
$C=0$
$D=0$
mi rimane pertanto
$int 1/x^2$
tale è uguale a $-1/x$
tuttavia è definito e allora si ha:
$[-1/x]^(+infty)_1$
e il $lim_(x->infty)-1/t+1=1$ converge a $1$
di questo integrale ho sbagliato qualche procedimento?
Risposte
secondo il prof converge a:
$1/2(2+log(2))$
equivale a $1+(log2)/2$
$1/2(2+log(2))$
equivale a $1+(log2)/2$
"Marcomix":
di questo integrale ho sbagliato qualche procedimento?
ricontrolla la scomposizione della tua frazione che a me risulta:
$1/x+ 1/x^2 - x/(x^2 + 1) $
secondo me tu hai trattato il m.c.m. come una somma e non come un prodotto: rifai i conti!
"Marcomix":
secondo il prof converge a:$1/2(2+log(2))$ equivale a $1+(log2)/2$
sei sicuro del risultato?
il mio è questo:
[tex]\[
\int\limits_{ - 1}^{ + \infty } {\frac{{x^2 + x + 1}}{{x^2 (x^2 + 1)}}} = \frac{1}{2}\ln 2 - 1
\][/tex]
@piero_
Tende a $1$ non a $-1$, quindi poi ti torna!
no ma dove ho sbagliato, continuo a non capire.. come hai scomposto?
Tende a $1$ non a $-1$, quindi poi ti torna!
no ma dove ho sbagliato, continuo a non capire.. come hai scomposto?
"Marcomix":
$int^(+infty)_1(x^2+x+1)/(x^2(x^2+1))$
questo è l'integrale da calcolare e capire dove converge, se converge.
sono partito nel trovare la soluzione dell'integrale indefinito.
$int (A/x + B/(x^2) + (Cx+D)/(x^2+1))$
trovo $A$ $B$ $C$ $D$:
$Ax^2+Ax^2+A+Bx+Bx^2+B+Cx^2+Cx^3+Dx+Dx^2$]
se fin qui va bene, evidenzio per bene il passaggio che ho fatto:
$x^3(C)=0$
$x^2(2A+B+C+D)=1$
$x(B+D)=1$
$A+B=1$
"Marcomix":
trovo $A$ $B$ $C$ $D$: $Ax^2+Ax^2+A+Bx+Bx^2+B+Cx^2+Cx^3+Dx+Dx^2$]
non capisco che calcoli fai:
somma semplicemente le tre frazioni che hai indicato e poi imponi l'uguaglianza dei coefficienti:
[tex](A+C)x^3+(B+D)x^2+Ax+B[/tex]
dimmi se ti è chiaro
Il denominatore comune è $x^2(x^2+1)$, quindi ottieni al primo numeratore $A*x*(x^2+1)=Ax^3+Ax$ al secondo $B*(x^2+1)=Bx^2+B$ e adesso vedo che hai sbagliato anche il terzo numeratore.
Spero che i miei studenti di prima superiore, sprattutto quelli che hanno avuto il debito in matematica, abbiano più dimestichezza di te con la somma di frazioni algebriche!
Spero che i miei studenti di prima superiore, sprattutto quelli che hanno avuto il debito in matematica, abbiano più dimestichezza di te con la somma di frazioni algebriche!
mi è chiarissimo ora!
mi portavo dietro anche $x$, senza includerlo in $x^2$
mi portavo dietro anche $x$, senza includerlo in $x^2$
un'altra cosa..
arrivo al limite,
$lim_(x->+infty) logt-(1/t)-1/2log(t^2+1)-(log1-1-1/2log2)$
$-1/t$ tende a $0$ ma $logt$ e $-1/2log(t^2+1)$ come fanno a andare a $0$?
arrivo al limite,
$lim_(x->+infty) logt-(1/t)-1/2log(t^2+1)-(log1-1-1/2log2)$
$-1/t$ tende a $0$ ma $logt$ e $-1/2log(t^2+1)$ come fanno a andare a $0$?
"Marcomix":
...ma $logt$ e $-1/2log(t^2+1)$ come fanno a andare a $0$?
prova ad usare le proprietà dei logaritmi, a cosa è uguale [tex]$ logt -{\frac{1}{2}}log(t^2+1) $[/tex] ?
$log(t/(t^2+1)^(1/2)) -> log1=0$
Sì, il limite per t che tende all'infinito è 0.
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