Integrale ostico (per me...)
potreste darmi una mano a capire questo integrale, col maggior numero di passaggi possibili?
$s,tinRR; x,yinRR^2
$int_0^tds int_{RR^2}dy |x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}}
$s,tinRR; x,yinRR^2
$int_0^tds int_{RR^2}dy |x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}}
Risposte
"Nebula":
potreste darmi una mano a capire questo integrale, col maggior numero di passaggi possibili?
$s,tinRR; x,yinRR^2
$int_0^tds int_{RR^2}dy |x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}}
Scusa non mi è ben chiara la forma, la funzione integranda è fuori dai differenziali? E poi non manca un $dx$?
avevo messo ds e dy subito dopo gli integrali a cui si riferiscono.
aggiungo un po' di parentesi
$int_0^t[ int_{RR^2} (|x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}})dy]ds
non manca un $dx$, dato che $yinRR^2.
può essere che il risultato è $k/sqrtt$ $(kinRR)$?
aggiungo un po' di parentesi
$int_0^t[ int_{RR^2} (|x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}})dy]ds
non manca un $dx$, dato che $yinRR^2.
può essere che il risultato è $k/sqrtt$ $(kinRR)$?
A me la notazione di Nebula è familiare... indica di eseguire prima l'integrazione in $dy$ e poi in $ds$... puoi specificare cosa non ti è chiaro Kroldar???
Spero che venga qualcun altro a risponderti Nebula perchè non ho il tempo di fare l'integrale... cmq se fosse in te andrei con un cambio di variabile sul primo integrale: $x-y=v$... (lo Jacobiano credo abbia determinante $1$, essendo una traslazione)... fatto questo l'integrale su $R^2$ ti dipende solo dal modulo di $v$ e quindi usa coordinate sferiche... poi però hai da fare un altro integrale sulla retta, che non so se verrà abbordabile... magari si, prova
ps: complimenti per il nick
Spero che venga qualcun altro a risponderti Nebula perchè non ho il tempo di fare l'integrale... cmq se fosse in te andrei con un cambio di variabile sul primo integrale: $x-y=v$... (lo Jacobiano credo abbia determinante $1$, essendo una traslazione)... fatto questo l'integrale su $R^2$ ti dipende solo dal modulo di $v$ e quindi usa coordinate sferiche... poi però hai da fare un altro integrale sulla retta, che non so se verrà abbordabile... magari si, prova
ps: complimenti per il nick
l'ordine di integrazione è uguale, direi.
quello che avevo in mente era eliminare la x come dice thomas, e poi ricondurmi a una gaussiana prendendo $2sqrt(t-s)$ dal denominatore $(t-s)^2$ trovandomi così con $|y|e^-|y|^2$ da integrare su $RR^2$. a questo punto direi che nella lotta modulo vs esponenziale vince l'esponenziale e mi dà un'integrale finito. resta solo $(t-s)^-(3/2)$ che integrato da 0 a t dà $k/sqrtt$.
è corretto o ho straparlato?
quello che avevo in mente era eliminare la x come dice thomas, e poi ricondurmi a una gaussiana prendendo $2sqrt(t-s)$ dal denominatore $(t-s)^2$ trovandomi così con $|y|e^-|y|^2$ da integrare su $RR^2$. a questo punto direi che nella lotta modulo vs esponenziale vince l'esponenziale e mi dà un'integrale finito. resta solo $(t-s)^-(3/2)$ che integrato da 0 a t dà $k/sqrtt$.
è corretto o ho straparlato?
non capisco bene il tuo metodo...cioè mi pare corretto.... ma non capisco il risultato: cosa è k?.. cmq ho provato a farlo e dovrebbe venire con il metodo sopra... direi $8\pi^(3/2)sqrt(t)$...
ps: se k è una costante positiva, osservo che l'integrale deve essere crescente con $t$....
ps: se k è una costante positiva, osservo che l'integrale deve essere crescente con $t$....
k è una costante, dato che mi interessava solo la dipendenza da t.
perchè tu l'hai messo al numeratore?
perchè tu l'hai messo al numeratore?
boh.... perchè così mi veniva ieri sera dai calcoli che ho fatto ....
- se la tua $k$ è positiva il tuo risultato mi pare non torni visto che l'integrale deve crescere con $t$;
- se è negativa, il risultato dell'integrale è un numero negativo che non può essere nemmeno;
quindi il tuo risultato non pare tornare....
.... - se la tua $k$ è positiva il tuo risultato mi pare non torni visto che l'integrale deve crescere con $t$;
- se è negativa, il risultato dell'integrale è un numero negativo che non può essere nemmeno;
quindi il tuo risultato non pare tornare....
"Thomas":
quindi il tuo risultato non pare tornare....
neanche a me...
cmq.... direi che
$int_0^t[ int_{RR^2} (|x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}})dy]ds = 2int_0^t1/(t-s)^{3/2}ds int_{RR^2}|y|e^-(y^2)dy
da lì, ponendo $k:=4int_{RR^2}|y|e^-(y^2)dy>0$ mi veniva che l'integrale era uguale a $k/sqrtt$.
dove sbaglio?
Anch'io ,come Kroldar ,vorrei capire che significato ha un
integrale del tipo $int_(RR^2)F(y)dy$
karl
integrale del tipo $int_(RR^2)F(y)dy$
karl
"karl":
Anch'io ,come Kroldar ,vorrei capire che significato ha un
integrale del tipo $int_(RR^2)F(y)dy$
karl
non sono sicuro di aver capito il tuo dubbio.
è l'integrale di $F:RR^2rarrRR$ su $RR^2
come scrivere $int_(RR^2)F(y_1,y_2)dy_1dy_2
"Nebula":
[quote="Thomas"]quindi il tuo risultato non pare tornare....
neanche a me...
cmq.... direi che
$int_0^t[ int_{RR^2} (|x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}})dy]ds = 2int_0^t1/(t-s)^{3/2}ds int_{RR^2}|y|e^-(y^2)dy
da lì, ponendo $k:=4int_{RR^2}|y|e^-(y^2)dy>0$ mi veniva che l'integrale era uguale a $k/sqrtt$.
dove sbaglio?[/quote]
quando sostituisci $(x-y)/((t-s)^(1/2))$ e lo rinomini con $y$ (un pò poco ortodosso usare il medesimo nome
) ti sei dimenticata il determinante dello jacobiano...
So bene che un integrale su $RR^2$ e' un integrale doppio.
Ma qui sta il punto.Qual e' l'altra variabile dell'integrale
$int_{RR^2}|y|e^-(y^2)dy $ ?
Non puo' essere la s visto che questa ha gia' il suo bravo
intervallo d'integrazione [0,t].E non vedo altri differenziali in giro,
tipo dx o che cosa...
Vi prego ,illuminatemi !!!
karl
Ma qui sta il punto.Qual e' l'altra variabile dell'integrale
$int_{RR^2}|y|e^-(y^2)dy $ ?
Non puo' essere la s visto che questa ha gia' il suo bravo
intervallo d'integrazione [0,t].E non vedo altri differenziali in giro,
tipo dx o che cosa...
Vi prego ,illuminatemi !!!
karl
"Thomas":
quando sostituisci $(x-y)/((t-s)^(1/2))$ e lo rinomini con $y$ (un pò poco ortodosso usare il medesimo nome
poco ortodosso? perchè?
cmq, in altre parole
$int_0^t[ int_{RR^2} (|x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}})dy]ds = 2int_0^t1/(t-s)^{3/2}ds int_{RR^2}|z|e^-(|z|^2)dz
ho sostituito $(x-y)/(2(t-s)^(1/2))$ con $z$ e $1/{2(t-s)^{1/2}}dy$ con $dz.
dovrebbe essere corretto.
"karl":
Vi prego ,illuminatemi !!!
niente di strano karl, dato che $yinRR^2$
se per te è più comodo sostituisci $y$ con $(y_1,y_2)$ e $dy$ con $dy_1dy_2$
"Nebula":
niente di strano karl, dato che $yinRR^2$
se per te è più comodo sostituisci $y$ con $(y_1,y_2)$ e $dy$ con $dy_1dy_2$
A questo punto sorgono dubbi a me, come si risolve
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} |(y_1, y_2)| e^{-(y_1, y_2)^2} dy_1 dy_2$
?
Voglio dire, $(y_1, y_2)$ è una coppia di reali, com'è definito (se è definito), il quadrato di una coppia o l'esponenziale di una coppia?!?
Sicche' y e' un vettore di componenti y1 e y2....
Ora e' chiaro..
Ma la prossima volta ditelo!!!
karl
Ora e' chiaro..
Ma la prossima volta ditelo!!!
karl
"Tipper":
A questo punto sorgono dubbi a me, come si risolve
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} |(y_1, y_2)| e^{-(y_1, y_2)^2} dy_1 dy_2$
?
Voglio dire, $(y_1, y_2)$ è una coppia di reali, com'è definito (se è definito), il quadrato di una coppia o l'esponenziale di una coppia?!?
tutto lascia presumere che $(y_1, y_2)^2$ indichi il prodotto scalare di $(y_1, y_2)$ con se stesso
a karl: veramente, Nebula l'aveva detto subito, rispondendo alla domanda di Kroldar
Ah, se indica il prodotto scalare tutto ok...
Indubbiamente non avevo afferrato subito la cosa
pensando ad un errore di traccia.
Lasciatemi pero' dire che ,considerata anche la questione
del prodotto scalare,questo esercizio lascia ... abbastanza
spazio all'immaginazione !!!
karl
pensando ad un errore di traccia.
Lasciatemi pero' dire che ,considerata anche la questione
del prodotto scalare,questo esercizio lascia ... abbastanza
spazio all'immaginazione !!!
karl
"Nebula":
[quote="Thomas"]quando sostituisci $(x-y)/((t-s)^(1/2))$ e lo rinomini con $y$ (un pò poco ortodosso usare il medesimo nome
poco ortodosso? perchè?
cmq, in altre parole
$int_0^t[ int_{RR^2} (|x-y|/(t-s)^2e^-{|x-y|^2/{4(t-s)}})dy]ds = 2int_0^t1/(t-s)^{3/2}ds int_{RR^2}|z|e^-(|z|^2)dz
ho sostituito $(x-y)/(2(t-s)^(1/2))$ con $z$ e $1/{2(t-s)^{1/2}}dy$ con $dz.
dovrebbe essere corretto.
"karl":
Vi prego ,illuminatemi !!!
niente di strano karl, dato che $yinRR^2$
se per te è più comodo sostituisci $y$ con $(y_1,y_2)$ e $dy$ con $dy_1dy_2$[/quote]
poco ortodosso perchè se prima chiamavi un vettore con $y$, dopo non puoi usare il medesimo nome per una cosa diversa
....cmq è sbagliata la trasformazione dei differenziali, posto $a$ la costante sia il cambiamento di variabile $(x-y)/a=z$... sarà $x=za+y$, ora poni per comodità
$y=(y_1,y_2)$;
$x=(x_1,x_2)$
$z=(z_1,z_2)$;
e quindi in sostanza stai passando dalle coordinate $y=(y_1,y_2)$ a $z=(z_1,z_2)$. Lo jacobiano mi pare venga:
$((a,0),(0,a))$
ed il determinante $a^2$....
ora concludi tu la sostituzione...
quando ho scritto $y^2$ mi ero scordato il segno di modulo, volevo scrivere $|y|^2$ (come mi sembra si veda dai messaggi seguenti). cmq, come tra i reali, anche il segno di prodotto (scalare) tra vettori a volte si omette. ma errore mio.
per thomas: le variabili di integrazione sono mute, non seguono regole ferree....
cmq hai decisamente ragione tu, bisogna sostituire $1/{4(t-s)}dy$ con $dz.
così ho
$4int_0^t1/(t-s)ds int_{RR^2}|z|e^-(|z|^2)dz
ma è ancora sbagliato, vero???
lo so, ma non riesco a vederlo...
per thomas: le variabili di integrazione sono mute, non seguono regole ferree....
cmq hai decisamente ragione tu, bisogna sostituire $1/{4(t-s)}dy$ con $dz.
così ho
$4int_0^t1/(t-s)ds int_{RR^2}|z|e^-(|z|^2)dz
ma è ancora sbagliato, vero???
lo so, ma non riesco a vederlo...
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