Integrale ostico di funzione razionale
Stavo facendo un esercizio che ad un certo punto richiede di trovare le primitive di una 1-forma differenziale, e mi sono miseramente piantato nel calcolo di questo integrale:
[tex]\displaystyle\int{\frac{y^2+2xy-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx}[/tex]
Forse sarà la stanchezza, non lo so, ma nonostante averne provate tante non mi riesce nulla. Al massimo riesco ad isolare il termine [tex]\displaystyle\int{\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}dx}[/tex] che ha soluzione immediata ma per gli altri due non mi viene proprio niente in mente... Ho provato con sostituzioni, e cercando di far "comparire" l'integrale di un' arcotangente, ma nulla... Suggerimentini?
PS Wolfram da un risltato facile e bellino a vedersi il che peggiora solo la situazione!
[tex]\displaystyle\int{\frac{y^2+2xy-x^2}{(x^2+y^2)^2}dx}[/tex]
Forse sarà la stanchezza, non lo so, ma nonostante averne provate tante non mi riesce nulla. Al massimo riesco ad isolare il termine [tex]\displaystyle\int{\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}dx}[/tex] che ha soluzione immediata ma per gli altri due non mi viene proprio niente in mente... Ho provato con sostituzioni, e cercando di far "comparire" l'integrale di un' arcotangente, ma nulla... Suggerimentini?
PS Wolfram da un risltato facile e bellino a vedersi il che peggiora solo la situazione!
Risposte
Utilizza la linearità degli integrali! 
Questo mi viene in mente. 
Questo mi viene in mente.
Beh è quello che ho fatto, lo spezzo in tre termini, ma dei tre uno è immediatissimo e gli altri due per niente.. Oppure sono io molto fuori allenamento, non so...
Suggerirei di sommare e sottrarre $x^2$ al numeratore, mettere in evidenza $y$ e fare la sostituzione $t=x/y$ nell'integrale portando fuori le $y$ che rimangono "sciolte" (dopotutto ciò è lecito, perchè si integra rispetto a $x$); a questo punto si spezza la frazione in tre addendi, di cui uno restituisce un arcotangente, uno una potenza e l'altro è un po' più delicato.
Ecco i conti, se a qualcuno interessa...
[tex]\displaystyle\int{\frac{y^2+2xy-x^2}{(x^2+y^2)^2 }dx}=\frac{1}{y^4}\int{\frac{y^2+2xy-x^2+x^2-x^2}{(1+\frac{x^2}{y^2})^2 }dx}[/tex]
Ora posto [tex]\displaystyle\frac{x}{y}=t , x=ty , dx=y dt[/tex]
L'integrale diventa:
[tex]\displaystyle\frac{1}{y^3}\int{\frac{y^2+2ty^2-t^2y^2+t^2y^2-t^2y^2}{(1+t^2)^2}dt}=\frac{1}{y^3}\int{\frac{y^2(1+t^2)}{(1+t^2)^2}dt+\frac{1}{y^3}\int{\frac{2y^2(t-t^2)}{(1+t^2)^2}dt}=\frac{1}{y}\int{\frac{1}{1+t^2}dt}+\frac{1}{y}\int{\frac{2t}{(1+t^2)^2}dt}-\frac{2}{y}\int{\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt}=\frac{1}{y}\arctan{t}-\frac{1}{y}\frac{1}{1+t^2}-\frac{2}{y}\int{\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt}[/tex]
Ora concentriamoci su quest'ultimo "più delicato" integrale: [tex]\displaystyle\int{\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt}[/tex]
Lo riscrivo come
[tex]\displaystyle\frac{1}{2}\int{\frac{2tt}{(1+t^2)^2}dt}[/tex] e lo integro per parti derivando [tex]\displaystyle t[/tex] e integrando [tex]\displaystyle\frac{2t}{(1+t^2)^2}dt[/tex]
Si ottiene dunque
[tex]\displaystyle\int{\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt}=\frac{1}{2}(\arctan{t}-\frac{t}{(t^2+1)})[/tex]
Mettendo tutti i pezzi assime e risostituendo tutto si ottiene infine il "semplice"
[tex]\displaystyle\int{\frac{y^2+2xy-x^2}{(x^2+y^2)^2 }dx}=\frac{x-y}{x^2+y^2}[/tex]
[tex]\displaystyle\int{\frac{y^2+2xy-x^2}{(x^2+y^2)^2 }dx}=\frac{1}{y^4}\int{\frac{y^2+2xy-x^2+x^2-x^2}{(1+\frac{x^2}{y^2})^2 }dx}[/tex]
Ora posto [tex]\displaystyle\frac{x}{y}=t , x=ty , dx=y dt[/tex]
L'integrale diventa:
[tex]\displaystyle\frac{1}{y^3}\int{\frac{y^2+2ty^2-t^2y^2+t^2y^2-t^2y^2}{(1+t^2)^2}dt}=\frac{1}{y^3}\int{\frac{y^2(1+t^2)}{(1+t^2)^2}dt+\frac{1}{y^3}\int{\frac{2y^2(t-t^2)}{(1+t^2)^2}dt}=\frac{1}{y}\int{\frac{1}{1+t^2}dt}+\frac{1}{y}\int{\frac{2t}{(1+t^2)^2}dt}-\frac{2}{y}\int{\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt}=\frac{1}{y}\arctan{t}-\frac{1}{y}\frac{1}{1+t^2}-\frac{2}{y}\int{\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt}[/tex]
Ora concentriamoci su quest'ultimo "più delicato" integrale: [tex]\displaystyle\int{\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt}[/tex]
Lo riscrivo come
[tex]\displaystyle\frac{1}{2}\int{\frac{2tt}{(1+t^2)^2}dt}[/tex] e lo integro per parti derivando [tex]\displaystyle t[/tex] e integrando [tex]\displaystyle\frac{2t}{(1+t^2)^2}dt[/tex]
Si ottiene dunque
[tex]\displaystyle\int{\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt}=\frac{1}{2}(\arctan{t}-\frac{t}{(t^2+1)})[/tex]
Mettendo tutti i pezzi assime e risostituendo tutto si ottiene infine il "semplice"
[tex]\displaystyle\int{\frac{y^2+2xy-x^2}{(x^2+y^2)^2 }dx}=\frac{x-y}{x^2+y^2}[/tex]
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