Integrale on la formula di Hermite
Salve a tutti devo risolvere questo integrale :
$\int (2+x)/((x^(2)+4)(x-1)^3)$
Ho applicato la formula di hermite e sono arrivato a questo punto :
$(2+x)/((x^(2)+4)(x-1)^3)=A/(x-1)+B/(x-1)^2+C/(x-1)^3+(Dx+E)/(x^(2)+4)$
E usando il princio di identita dei polinomi svolgo il tutto, pero non mi trovo con il risultato del libro poiche fa un passaggio diverso che non riesco a capire che è questo
$(2+x)/((x^(2)+4)(x-1)^3)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^(2)+4)+d/dx*(Dx+E)/(x-1)^2$
e arriva a questo punto
$A/(x-1)+(Bx+C)/(x^(2)+4)+(D(x-1)-2(Dx+E))/(x-1)^3$
qualcuno gentilmente mi potrebbe spiegare perche io non mi trovo non va bene il modo in cui ho applicato la formula o bisogna farla per forza con la derivata? e poi un'altra cosa ho provato a fare anche io la derivata dell'ultimo pezzo ma non mi trovo come il libro
grazie in anticipo
$\int (2+x)/((x^(2)+4)(x-1)^3)$
Ho applicato la formula di hermite e sono arrivato a questo punto :
$(2+x)/((x^(2)+4)(x-1)^3)=A/(x-1)+B/(x-1)^2+C/(x-1)^3+(Dx+E)/(x^(2)+4)$
E usando il princio di identita dei polinomi svolgo il tutto, pero non mi trovo con il risultato del libro poiche fa un passaggio diverso che non riesco a capire che è questo
$(2+x)/((x^(2)+4)(x-1)^3)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^(2)+4)+d/dx*(Dx+E)/(x-1)^2$
e arriva a questo punto
$A/(x-1)+(Bx+C)/(x^(2)+4)+(D(x-1)-2(Dx+E))/(x-1)^3$
qualcuno gentilmente mi potrebbe spiegare perche io non mi trovo non va bene il modo in cui ho applicato la formula o bisogna farla per forza con la derivata? e poi un'altra cosa ho provato a fare anche io la derivata dell'ultimo pezzo ma non mi trovo come il libro
grazie in anticipo
Risposte
Nessuno mi puo aitare(?) 
Quella che hai usato tu è una scomposizione in fratti semplici; la formula di Hermite è quella che usa il testo, i.e. quella con un termine di tipo derivata (che è facile da integrare).
In soldoni (e senza troppo rigore), la formula di Hermite dice che ogni volta che al denominatore di una funzione razionale ridotta (cioè col grado del numeratore $<$ del grado del denominatore) hai qualche fattore ripetuto con molteplicità $\nu>= 2$, nella scomposizione oltre al fratto semplice corrispondente figura anche un contributo di tipo "derivata", al cui denominatore compare il prodotto di tutti i fattori ripetuti del denominatore elevati al proprio esponente diminuito di $1$ ed al numeratore un polinomio a coefficienti incogniti di grado minore del prodotto al denominatore.
Tanto per capirci, nel caso in esame hai:
\[
f(x) = \frac{x+2}{(x^2+4)(x-1)^3}
\]
con il denominatore scomposto in fattori $x^2+4$ di molteplicità $1$ ed $x-1$ di molteplicità $3$; conseguentemente, la scomposizione di Hermite della tua $f$ è del tipo:
\[
f(x) = \underbrace{\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4}}_{\text{fratti semplici}} + \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{ax+b}{(x-1)^2}\right]\; ,
\]
poiché c'è un unico fattore ripetuto $x-1$ con molteplicità $3$, quindi il termine di tipo "derivata" ha al denominatore $(x-1)^{3-1} = (x-1)^2$ ed il grado del numeratore è $1=2-1$.
Ovviamente per terminare bisogna fare i conti per determinare i coefficienti $A,B,C,a,b$.
Un ulteriore esempio.
Se hai:
\[
f(x) = \frac{1}{x(x-1)^2(x^2+1)^3}
\]
la scomposizione di Hermite è:
\[
f(x) = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{Cx+D}{x^2+1} + \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}{(x-1)(x^2+1)^2}\right]\; ,
\]
poiché i due fattori ripetuti $x-1$ ed $x^2+1$ hanno molteplicità $2$ e $3$, ergo il denominatore del termine di tipo "derivata" è $(x-1)^{2-1}(x^2+1)^{3-1} = (x-1)(x^2+1)^2$ di grado $5$ ed il numeratore è un polinomio di grado $4=5-1$.
In soldoni (e senza troppo rigore), la formula di Hermite dice che ogni volta che al denominatore di una funzione razionale ridotta (cioè col grado del numeratore $<$ del grado del denominatore) hai qualche fattore ripetuto con molteplicità $\nu>= 2$, nella scomposizione oltre al fratto semplice corrispondente figura anche un contributo di tipo "derivata", al cui denominatore compare il prodotto di tutti i fattori ripetuti del denominatore elevati al proprio esponente diminuito di $1$ ed al numeratore un polinomio a coefficienti incogniti di grado minore del prodotto al denominatore.
Tanto per capirci, nel caso in esame hai:
\[
f(x) = \frac{x+2}{(x^2+4)(x-1)^3}
\]
con il denominatore scomposto in fattori $x^2+4$ di molteplicità $1$ ed $x-1$ di molteplicità $3$; conseguentemente, la scomposizione di Hermite della tua $f$ è del tipo:
\[
f(x) = \underbrace{\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4}}_{\text{fratti semplici}} + \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{ax+b}{(x-1)^2}\right]\; ,
\]
poiché c'è un unico fattore ripetuto $x-1$ con molteplicità $3$, quindi il termine di tipo "derivata" ha al denominatore $(x-1)^{3-1} = (x-1)^2$ ed il grado del numeratore è $1=2-1$.
Ovviamente per terminare bisogna fare i conti per determinare i coefficienti $A,B,C,a,b$.
Un ulteriore esempio.
Se hai:
\[
f(x) = \frac{1}{x(x-1)^2(x^2+1)^3}
\]
la scomposizione di Hermite è:
\[
f(x) = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{Cx+D}{x^2+1} + \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}{(x-1)(x^2+1)^2}\right]\; ,
\]
poiché i due fattori ripetuti $x-1$ ed $x^2+1$ hanno molteplicità $2$ e $3$, ergo il denominatore del termine di tipo "derivata" è $(x-1)^{2-1}(x^2+1)^{3-1} = (x-1)(x^2+1)^2$ di grado $5$ ed il numeratore è un polinomio di grado $4=5-1$.
Ciao gugo82,
Ti segnalo un errore veniale:
In realtà è al denominatore (ma comunque si era capito dal contesto...
)
Ti segnalo un errore veniale:
"gugo82":
quindi il termine di tipo "derivata" ha al numeratore $(x−1)^{3 - 1}=(x−1)^2$
In realtà è al denominatore (ma comunque si era capito dal contesto...
)
Corretto.
Grazie pilloeffe.
Grazie pilloeffe.
grazie mille adesso ho capito finalmente!!! ancora grazie.
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