Integrale notevole che mi manca
Avrei un' ultima richiesta da farvi di teoria.....ho studiato gli integrali notevoli della funzioni razionali fratte....esempio:
[tex]\int\frac{1}{x^2+px+q}[/tex]
Ce n'è uno che non ho...e non riesco a trovare....è:
[tex]\int\frac{1}{(1+x^2)^n}[/tex]
Mi potreste fare vedere come si procede?
Non mi serve per gli esercizi quanto come formula dal punto di vista teorico.
Grazie
[tex]\int\frac{1}{x^2+px+q}[/tex]
Ce n'è uno che non ho...e non riesco a trovare....è:
[tex]\int\frac{1}{(1+x^2)^n}[/tex]
Mi potreste fare vedere come si procede?
Non mi serve per gli esercizi quanto come formula dal punto di vista teorico.
Grazie
Risposte
$I_n = int 1/(x^2 +1)^n dx , (n>1)$
$ I_n = 1/(2(n-1)) ( (2n-3) I_(n-1) + x/(x^2 +1)^(n-1))$
$ I_n = 1/(2(n-1)) ( (2n-3) I_(n-1) + x/(x^2 +1)^(n-1))$
Emh...si, la formula finale è quella immagino.
Se non chiedo troppo, potresti svilupparmi qualche calcolo in più?
Sempre considerando [tex]n>1[/tex]
Magari scrivendo come si arriva a quella formula?
Se non chiedo troppo, potresti svilupparmi qualche calcolo in più?
Sempre considerando [tex]n>1[/tex]
Magari scrivendo come si arriva a quella formula?
non lo so !
Non è difficile:
[tex]$\int \frac{1}{(1+x^2)^n} dx = \int \frac{1 + x^2}{(1+x^2)^n} - \frac{x^2}{(1+x^2)^n} dx = \int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}} dx - \int x \frac{x}{(1+x^2)^n} dx$[/tex].
A questo punto integrando per parti si ha [tex]$\int x \frac{x}{(1+x^2)^n} dx = x \cdot \frac{-1}{2(n-1) (1+x^2)^{n-1}} + \frac{1}{2(n-1)}\int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$[/tex].
Quindi ponendo [tex]$I_n = \int \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$[/tex] si ha che [tex]$I_n = \left (1 - \frac{1}{2(n-1)}\right )I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(1+x^2)^{n-1}} = \frac{1}{2(n-1)}\left [(2n- 3) I_{n-1} + \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}\right ]$[/tex]
[tex]$\int \frac{1}{(1+x^2)^n} dx = \int \frac{1 + x^2}{(1+x^2)^n} - \frac{x^2}{(1+x^2)^n} dx = \int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}} dx - \int x \frac{x}{(1+x^2)^n} dx$[/tex].
A questo punto integrando per parti si ha [tex]$\int x \frac{x}{(1+x^2)^n} dx = x \cdot \frac{-1}{2(n-1) (1+x^2)^{n-1}} + \frac{1}{2(n-1)}\int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}$[/tex].
Quindi ponendo [tex]$I_n = \int \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$[/tex] si ha che [tex]$I_n = \left (1 - \frac{1}{2(n-1)}\right )I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(1+x^2)^{n-1}} = \frac{1}{2(n-1)}\left [(2n- 3) I_{n-1} + \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}\right ]$[/tex]
Ok....me l'appunto....ti ringrazio...cercherò di impararlo 
@anticristo:
Curiosità: hai sempre usato la formula e non ti sei mai posto il problema? O hai semplicemente raccattato la formula da internet e l'hai postata?
"anticristo":
$I_n = int 1/(x^2 +1)^n dx ,\ (n>1)$
$ I_n = 1/(2(n-1)) ( (2n-3) I_(n-1) + x/(x^2 +1)^(n-1))$
"Darèios89":
come si arriva a quella formula?
"anticristo":
non lo so!
Curiosità: hai sempre usato la formula e non ti sei mai posto il problema? O hai semplicemente raccattato la formula da internet e l'hai postata?
la conoscevo e non l'ho mai usata e sto studiando altro ora...
"anticristo":
la conoscevo e non l'ho mai usata e sto studiando altro ora...
a mazza che bella memoria però, quasi quasi ti invidio
"Mathcrazy":
[quote="anticristo"]la conoscevo e non l'ho mai usata e sto studiando altro ora...
a mazza che bella memoria però, quasi quasi ti invidio
[/quote]E se la memoria sbaglia?
Per questo la Matematica si deve capire, non studiare a memoria...
semplicemente oggi non avevo tempo di dimostrarla
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