Integrale nel senso delle distribuzioni

[darinter]

Salve,avrei bisogno di un aiuto nello svolgere gli integrali nel senso delle distribuzioni,ad esempio:
$int_(-oo)^(+oo) (sen ω F(t^2+jt)dω$
Per prima cosa faccio la trasformata di Fourier di $t^2+jt$ che mi viene pari a $-2π(δ''(ω)+δ'(ω))$.Nella speranza di averla fatta bene,mi ritrovo a risolvere quest'integrale:
$-2π int_(-oo)^(+oo) (sen ω (δ''(ω)+δ'(ω)) dω$ e qui vado in difficoltà,come devo procedere?Di fatto non avrei problemi se $sen ω$ fosse una funzione test,ma non penso che lo sia poichè non si annulla al di fuori di un compatto...allora come risolvo?
Vi ringrazio

[ViciousGoblin]

"darinter":Salve,avrei bisogno di un aiuto nello svolgere gli integrali nel senso delle distribuzioni,ad esempio:
$int_(-oo)^(+oo) (sen ω F(t^2+jt)dω$
Per prima cosa faccio la trasformata di Fourier di $t^2+jt$ che mi viene pari a $-2π(δ''(ω)+δ'(ω))$.Nella speranza di averla fatta bene,mi ritrovo a risolvere quest'integrale:
$-2π int_(-oo)^(+oo) (sen ω (δ''(ω)+δ'(ω)) dω$ e qui vado in difficoltà,come devo procedere?Di fatto non avrei problemi se $sen ω$ fosse una funzione test,ma non penso che lo sia poichè non si annulla al di fuori di un compatto...allora come risolvo?
Vi ringrazio

Naturalmente con "integrale nel senso delle distribuzioni" intendi quella che in gergo matematico e' la dualita' $< u,\phi >$ distribuzione -test .
Allora hai ragione a dire che il seno non e' un test buono dato che non si annulla fuori da un compatto. Pero' la distribuzione $-2π(δ''(ω)+δ'(ω))$ non e' una
distribuzione qualsiasi ma e' una distribuzione a supporto compatto. Per tali distribuzioni la dualita' (l'integrale) si puo' estendere a tutte le funzioni $C^\infty$ nel modo seguente:
supponi che $u$ sia una distribuzione nulla fuori da un intervallo $[-M,M]$ e che $\phi$ sia una funzione $C^\infty$. Prendi una qualunque $\eta$ che sia $C^\infty$, cha faccia uno in
$[-M,M]$ e che diventi zero fuori da un altro intervallo un po' piu' grande di $[-M,M]$; allora $\eta \phi$ e' un test ammissibile puoi calcolare $< u,\eta \phi >$ - dato che $u$ e' nulla fuori da
$[-M,M]$ il risultato non dipende da $\eta$ e lo puoi chiamare $< u,\phi >$.
Nel tuo caso vedi facilmente che $< -2π(δ''(ω)+δ'(ω)) , \sin(\omega) > =-2\pi[\frac{d^2}{d\omega^2}\sin(\omega)]_{\omega=0}+2\pi [\frac{d}{d\omega}\sin(\omega)]_{\omega=0}=2\pi$

[darinter]

Grazie mille,dunque ogni volta che ho una distribuzione a supporto compatto la posso giustamente fare agire su una $C^(oo)$,difatti se non sbaglio,così facendo,applico proprio la definizione di distribuzione a supporto compatto.Quindi,più in generale se ho una distribuzione temperata,ma non a supporto compatto,posso farla agire su una funzione a decrescenza rapida,è così?

[ViciousGoblin]

"darinter":Grazie mille,dunque ogni volta che ho una distribuzione a supporto compatto la posso giustamente fare agire su una $C^(oo)$,difatti se non sbaglio,così facendo,applico proprio la definizione di distribuzione a supporto compatto.Quindi,più in generale se ho una distribuzione temperata,ma non a supporto compatto,posso farla agire su una funzione a decrescenza rapida,è così?

CORRECT !!

Per quanto riguarda "applico proprio la definizione di distribuzione a supporto compatto" dipende dalle definizioni. Secondo me quella piu' naturale e' di dire che
$u$ e' a supporto compatto se $u=0$ sul complementare di un compatto La cosa ha senso perche' posso definire $u=0$ su un aperto $A$ dicendo
$< u,\phi >$ per ogni test $\phi$ a supporto in $A$. Si vede poi (e l'idea e' quella del mio post precedente) che se $u$ e' a supporto compatto allora la si puo'
applicare a ogni test in $C^\infty$.
Pero' altri fanno come probabilmente hai fatto tu definendo le distribuzioni a supporto compatto mediante l'ultima proprieta'.