Integrale multiplo con $e^(z^2)$

Aniretac98
ciao a tutti,
sto preparando l'esame di analisi 2 e mi sono imbattuta in un esercizio che mi chiede di calcolare l'integrale di f(x) in A, definiti come segue:
$A={(x, y, z)∈R^3: x^2+y^2≤z≤1}, f(x)=e^(z^2)$

ho definito $0≤z≤1, -1≤y≤1, -sqrt(1-y^2)≤x≤sqrt(1-y^2)$ e integrato per sostituzione in x e in y e mi sono ritrovata a dover integrare $e^(z^2)$ per z che varia tra 0 e 1 ma non so proprio come fare.

potreste aiutarmi?

Risposte
gugo82
Innanzitutto, il dominio individuato dalle disuguaglianze che hai utilizzato non è quello assegnato nell'esercizio. Perché?
Quindi, anche se fossi riuscita ad integrare, avresti trovato un risultato sbagliato.

Hai provato ad usare coordinate cilindriche, ad esempio?

Aniretac98
ho provato come segue:

$x=\rho*cos(theta)$
$y=\rho*sen(theta)$

ho anche provato ad assegnare $z=\rho^2$

calcolo il determinante dello jacobiano e mi risulta pari a $\rho$

successivamente inizio a integrare con $0\leq\rho\leq1$ e $0\leq\theta\leq2*pi$

con questo arrivo a dover integrare $2*pi*e^(\rho^2)*\rho$ tra gli estremi 0 e 1 e trovo come soluzione $pi*(e-1)$

ho quindi risolto il problema legato all'esponenziale però il risultato non è corretto. dovrebbe infatti essere $pi/2*(e-1)$. dove ho sbagliato?

pilloeffe
Ciao catetac,

Benvenuta sul forum!
"catetac":
ho anche provato ad assegnare $z=\rho^2 $

Scusa, ma che cosa significa questa locuzione? Dove varia $z$?

gugo82
L'integrale è triplo, quindi ti servono tre coordinate per un cambiamento di coordinate.

Il passaggio in coordinate cilindriche è descritto dalle formule:

$\{(x = rho cos theta), (y = rho sin theta), (z = h):}$,

ed ha jacobiano $rho$; le disuguaglianze che individuano il tuo dominio si riscrivono:

$0 <= theta <= 2pi$, $rho >= 0$, $r^2 <= h <= 1$

dunque il tuo integrale diventa:

$int_0^(2pi) "d"theta (int_0^1 "d" rho (int_(rho^2)^1 e^(h^2) rho "d"h))$

che non è risolubile elementarmente; quindi cambiamo l'ordine di integrazione, scambiando $rho$ ed $h$, ed otteniamo:

$int_0^(2pi) "d"theta (int_0^1 "d" h (int_0^(sqrt(h)) e^(h^2) rho "d"rho)) = 2pi * int_0^1 e^(h^2) [1/2 rho^2]_0^(sqrt(h)) "d"h = pi*int_0^1 h e^(h^2)"d"h$

da cui segue immediatamente il risultato del libro.

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