Integrale - metodo dei residui

[indovina]

Ho intrapreso gli esercizi degli integrali da risolversi con il metodo dei residui. La teoria è bella piena di formalismi, e non nego di aver trovato qualche difficoltà, tuttavia vorrei tentare di capire almeno come 'ragionare' su integrali del tipo questo, io ho fatto un pò di considerazioni su ciò che ho capito ma niente di che.


$\int (sin^2 x)/x^2 dx$ integrato in $(-oo, +oo)$

potrei trattarlo come $|(p(x)) / (q(x))| = O(1/|z|^k) $ con $k>1$

quindi un $f(z) * (sin x)^k$

mi servirebbe poi il calcolo delle singolarità, in quanto la singolarità della funzione si hanno nei punti di non analicità della funzione, ma $1/z^2$ ha punti di singolarità in $z=0$ che è polo doppio, cioè ha molteplicità algebrica $2$ o sbaglio?
quindi dovrei trovare il limite per quel valore, e trovarmi il residuo ma qui trovo non poche difficoltà. sarebbe percaso fare il limite di:
$lim_(z->0) (e^(iz))/z^2$ ?

già sento i rastrellamenti é_é

[ciampax]

Per prima cosa: a quale integrale complesso vuoi ricondurre quello reale? La funzione integranda dovrebbe essere ${\sin^2 z}/{z^2}$. Hai provato a scriverti il suo sviluppo in serie in un intorno dell'orgine (unico punto problematico) per capire cosa accade?

[indovina]

si ci avevo pensato, infatti avevo trovato per
$sin z = z - (z^3)/6$

diventando:

$\int 1/z - z/6 dz$

la singolarità è in $z=0$ e lì ci calcolo il limite per $z->0$ e facendo un pò di conti viene

$Lim_(z->0) 1/z - z/6 = +oo$

tuttavia se facessi il limite proprio in $z->0$ di $((sin z)/z)^2 = 1$ perchè credo sia applicabile il limite notevole, giusto?
:S