Integrale: manipolazione differenziale anziché sostituzione

[koloko]

Normalmente il seguente integrale si svolge con la seguente sostituzione di variabile
[tex]\int\frac{x}{x^{2}+1}dx\Longrightarrow t=x^{2}\Longrightarrow dt=2xdx\Longrightarrow dx=\frac{dt}{2x}\Longrightarrow\int\frac{x}{t+1}\frac{dt}{2x}=\int\frac{1}{t+1}\frac{dt}{2}=\int\frac{1}{t+1}\frac{d\left(t+1\right)}{2}=\frac{1}{2}\ln|t+1|=\frac{1}{2}\ln|t|=\frac{1}{2}ln|x^{2}+1|[/tex]

Io però vorrei procedere nel seguente modo. Sebbene il risultato sia lo stessso, non sono totalmente sicuro che sia propriamente corretto. Quindi vorrei chiedere una vostra conferma. Inizio integrando la $x$ al numeratore:
[tex]\int\frac{1}{x^{2}+1}d\left(\frac{x^{2}}{2}\right)[/tex]
poi porto fuori la costante moltiplicativa
[tex]\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+1}d\left(x^{2}\right)[/tex]
infine aggiungo una costante all'interno del differenziale
[tex]\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^{2}+1}d\left(x^{2}+1\right)[/tex]
e avendo il differenziale che è della stessa forma della parte al numeratore, posso preseguire con
[tex]\frac{1}{2}ln|x^{2}+1|[/tex]

È corretta come procedura? Grazie

[gugo82]

È la stessa cosa.
Tra l'altro, i tuoi passaggi sono scritti meglio di quelli iniziali.

Però, a dirla tutta, quello lì è un integrale che si risolve "a occhio": a meno di un fattore $2$, quello è -come diceva il mio professore- un integrale della tabella:

$int (f^\prime (x))/(f(x))\ "d" x = log |f(x)| + C$.

[pilloeffe]

Ciao Caterpillar,

"Caterpillar":È corretta come procedura?

Sì.
Osserverei che hai omesso la costante di integrazione e che invece il modulo può essere omesso, dato che certamente $x^2 + 1 > 0 $:

$ \int\frac{x}{x^{2}+1} \text{d}x = 1/2 ln(x^2 + 1) + c = ln\sqrt{x^2 + 1} + c $