Integrale: ma cos'è dx?????
Salve, è da poco che cerco di imparare qualcosa sugli integrali, ma non capisco proprio cos'è "dx". Cosa rappresenta? A cosa serve?
la prof mi ha detto che è la parte differenziale, ma sapere questo non mi ha cambiato la situazione... ho visto anche un po in giro (libri, dispense, internet), ma pare che tutti lo diano per scontato... non riesco a farmi un idea, credo sia importante e non banale... poi bo... aiuto
grazie in anticipo
la prof mi ha detto che è la parte differenziale, ma sapere questo non mi ha cambiato la situazione... ho visto anche un po in giro (libri, dispense, internet), ma pare che tutti lo diano per scontato... non riesco a farmi un idea, credo sia importante e non banale... poi bo... aiuto
grazie in anticipo
Risposte
Se ne è parlato molto a lungo in questo forum. Se fai una ricerca troverai ampie e dettagliate discussioni a riguardo, e credo soddisferai ogni curiosità.
se hai già in mente qualche link da farmi vedere o ricordi nomi di vecchi post dove si affronta questo problema, non mi dispiacerebbe saperlo 
... è già un po che giro senza grandi risultati....
grazie mille
... è già un po che giro senza grandi risultati....grazie mille
"gugo82":
Rimando a questa dispensina di Fioravante Patrone: Chi è [tex]$\text{d} x$[/tex]?.
sarà che io sono troppo lontano da queste dimostrazioni matematiche, quale sarebbe il poche parole l'importanza di mettere $dx$? :S
Ringrazio gugo per aver segnalato questa gran bella dispensa (oltre che molto chiara). Me la sono salvata.
Anche io sto molto attento a distinguere una mappa dal suo valore in un punto;
secondo me è una cosa cruciale, almeno quando si parla di spazi di funzioni.
Infatti non mi piace scrivere cose come $y=y(x)$ o $f=f(x)$.
Quando si dice "y è funzione di x", intendendo che y è una grandezza che varia con x,
la parola "funzione" non ha il significato che le si attribuisce in matematica.
Questo secondo me è un fatto da tener sempre ben presente.
Anche io sto molto attento a distinguere una mappa dal suo valore in un punto;
secondo me è una cosa cruciale, almeno quando si parla di spazi di funzioni.
Infatti non mi piace scrivere cose come $y=y(x)$ o $f=f(x)$.
Quando si dice "y è funzione di x", intendendo che y è una grandezza che varia con x,
la parola "funzione" non ha il significato che le si attribuisce in matematica.
Questo secondo me è un fatto da tener sempre ben presente.
@clever: Fioravante, tempo fa, proponeva (tra il serio ed il faceto) di usare un simbolo del tipo [tex]$\mathcal{I}[a,b;f]$[/tex] per denotare l'integrale della funzione [tex]$f$[/tex] esteso all'intervallo [tex]$[a,b]$[/tex]... Ma FP non è il solo: ad esempio sul testo di Brezis (che userai probabilmente quando studierai Analisi Funzionale) viene il più delle volte usato il simbolo [tex]\int_a^b f[/tex].
Questi due esempi valgono per segnalare che il simbolo [tex]$\text{d} x$[/tex] non è indispensabile alla notazione.
Tuttavia il [tex]$\text{d} x$[/tex] è comodo, perchè permette sempre di tenere sott'occhio la variabile d'integrazione: ciò torna utilissimo quando si applicano i teoremi di cambiamento di variabile.
Questi due esempi valgono per segnalare che il simbolo [tex]$\text{d} x$[/tex] non è indispensabile alla notazione.
Tuttavia il [tex]$\text{d} x$[/tex] è comodo, perchè permette sempre di tenere sott'occhio la variabile d'integrazione: ciò torna utilissimo quando si applicano i teoremi di cambiamento di variabile.
"gugo82":
@clever: Fioravante, tempo fa, proponeva (tra il serio ed il faceto) di usare un simbolo del tipo [tex]$\mathcal{I}[a,b;f]$[/tex] per denotare l'integrale della funzione [tex]$f$[/tex] esteso all'intervallo [tex]$[a,b]$[/tex]... Ma FP non è il solo: ad esempio sul testo di Brezis (che userai probabilmente quando studierai Analisi Funzionale) viene il più delle volte usato il simbolo [tex]\int_a^b f[/tex].
Questi due esempi valgono per segnalare che il simbolo [tex]$\text{d} x$[/tex] non è indispensabile alla notazione.
Tuttavia il [tex]$\text{d} x$[/tex] è comodo, perchè permette sempre di tenere sott'occhio la variabile d'integrazione: ciò torna utilissimo quando si applicano i teoremi di cambiamento di variabile.
Quindi se ho ben capito.
Quel $dx$ mi serve principalmente per vedere la variabile di integrazione, infatti se cambia quella (per esempio quando faccio integrazione per sostituzione, devo fare attenzione a passare da $dx$ a $dt$ per esempio).
In alcuni testi, e spesso però il professore ometteva $dx$ scrivendo proprio come hai scritto tu $f$ a posto di $fx$
Si, non è indispensabile.
Generalmente quando si danno definizioni, teoremi ecc. molti docenti tendono ad ometterlo.
Tuttavia è sempre conveniente, sopratutto negli esercizi, tenere d'occhio la variabile di integrazione.
Come ti suggeriva gugo, è parecchio comoda quando si deve operare una sostituzione.
Generalmente quando si danno definizioni, teoremi ecc. molti docenti tendono ad ometterlo.
Tuttavia è sempre conveniente, sopratutto negli esercizi, tenere d'occhio la variabile di integrazione.
Come ti suggeriva gugo, è parecchio comoda quando si deve operare una sostituzione.
grazie mille a tutti...... diciamo che mi sono fatto un idea, anche se quelle dispense vanno oltre le mie conoscenze, però leggendo la parte finale e dalle vostre discussioni qualcosa ho capito... mi è sufficiente sapere che non è indispensabile, per il momento...
Tempo fa feci la stessa domanda all'assistente del mio professore di analisi, oltre che ad evidenziare la variabile rispetto cui si integra, mi ha detto che ci da un senso della "misura" di integrazione. Ora non saprei bene come esprimermi qui, diciamo che mi sono fatto un'idea generale, è praticamente lo stesso meccanismo della sostituzione...
Magari qualcuno di voi ( che sicuramente ne sapete molto di più ) saprebbe esplicitare meglio quello che voglio dire?
Magari qualcuno di voi ( che sicuramente ne sapete molto di più ) saprebbe esplicitare meglio quello che voglio dire?
Questo che ti ha detto il tuo insegnante è un fatto che capirai bene quando studierai la teoria della misura. Invece, l'idea intuitiva del $dx$ sta nella vecchia nozione di "infinitesimo": dovendo "sommare" tutti i valori assunti dalla funzione $f$, che è definita su un intervallo continuo $[a, b]$, si suddivide l'intervallo in "tanti intervallini infinitesimi" di lunghezza $"d"x$, si forma per ciascuno di essi il prodotto "base per altezza" $f(x)"d"x$ e poi si "somma" il tutto (il simbolo di integrale è una S, iniziale della parola "somma"):
$int_{[a, b]}f(x)\ "d"x$.
Questa era l'idea. Poi il concetto è stato superato, sostituendolo con delle opportune operazioni di limite oppure con la nozione di somma superiore ed inferiore; ma la simbologia è rimasta. Sul forum ne abbiamo parlato decine di volte. Un paio di discussioni che mi sono rimaste impresse:
https://www.matematicamente.it/forum/la- ... 41255.html
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 47663.html
$int_{[a, b]}f(x)\ "d"x$.
Questa era l'idea. Poi il concetto è stato superato, sostituendolo con delle opportune operazioni di limite oppure con la nozione di somma superiore ed inferiore; ma la simbologia è rimasta. Sul forum ne abbiamo parlato decine di volte. Un paio di discussioni che mi sono rimaste impresse:
https://www.matematicamente.it/forum/la- ... 41255.html
https://www.matematicamente.it/forum/int ... 47663.html
Quando si parla di integrazione rispetto ad una misura [tex]$\mu$[/tex] (non voglio dilungarmi su come di faccia ciò, perciò segnalo questa pagina su cui reperire informazioni), l'integrale di solito si denota con:
[tex]$\int_X f\ \text{d} \mu$[/tex]
in cui vengono evidenziati: l'insieme su cui si integra ([tex]$X$[/tex]), la funzione integranda ([tex]$f$[/tex]) e la misura rispetto alla quale si integra ([tex]$\mu$[/tex] per l'appunto).
L'introduzione dell'idea di misura e l'intuizione di costruire l'integrale basandosi sulla misura è essenzialmente dovuto a Lebesgue, quindi l'integrale così costruito si chiama integrale di Lebesgue. Tale tipo di integrale è più generale di quello di Riemann (che è basato, grossomodo, sulla meno fine misura di Peano-Jordan), nel senso che una volta definita una buona misura [tex]$m$[/tex] su $\mathbb{R}$ (detta misura di Lebesgue...) tutte le funzioni integrabili alla Riemann sono integrabili pure alla Lebesgue ed i due integrali coincidono.
Questo serve a giustificare parzialmente ciò che diceva l'assistente di pater46: visto che [tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x=\int_{[a,b]} f \ \text{d} m$[/tex], "moralmente" quel [tex]$\text{d} x$[/tex] coincide col [tex]$\text{d} m$[/tex] e perciò serve per evidenziare la misura rispetto alla quale si integra.
L'interpretazione della notazione, probabilmente, è anche figlia del fatto che una volta posto [tex]$m(x):= m([0,x])=x$[/tex], seguendo l'usanza di porre [tex]$\text{d} f =f^\prime \ \text{d} x$[/tex], si ha [tex]$\text{d} m=\text{d} x$[/tex]...
[tex]$\int_X f\ \text{d} \mu$[/tex]
in cui vengono evidenziati: l'insieme su cui si integra ([tex]$X$[/tex]), la funzione integranda ([tex]$f$[/tex]) e la misura rispetto alla quale si integra ([tex]$\mu$[/tex] per l'appunto).
L'introduzione dell'idea di misura e l'intuizione di costruire l'integrale basandosi sulla misura è essenzialmente dovuto a Lebesgue, quindi l'integrale così costruito si chiama integrale di Lebesgue. Tale tipo di integrale è più generale di quello di Riemann (che è basato, grossomodo, sulla meno fine misura di Peano-Jordan), nel senso che una volta definita una buona misura [tex]$m$[/tex] su $\mathbb{R}$ (detta misura di Lebesgue...) tutte le funzioni integrabili alla Riemann sono integrabili pure alla Lebesgue ed i due integrali coincidono.
Questo serve a giustificare parzialmente ciò che diceva l'assistente di pater46: visto che [tex]$\int_a^b f(x)\ \text{d} x=\int_{[a,b]} f \ \text{d} m$[/tex], "moralmente" quel [tex]$\text{d} x$[/tex] coincide col [tex]$\text{d} m$[/tex] e perciò serve per evidenziare la misura rispetto alla quale si integra.
L'interpretazione della notazione, probabilmente, è anche figlia del fatto che una volta posto [tex]$m(x):= m([0,x])=x$[/tex], seguendo l'usanza di porre [tex]$\text{d} f =f^\prime \ \text{d} x$[/tex], si ha [tex]$\text{d} m=\text{d} x$[/tex]...
Te la voglio buttare sul semplice, tenendo presente che in ciò che sto per dire non c'è nessuna rigorosità... 
.
Quando ti si chiede di calcolare un integrale definito in un generico intervallo [tex][a,b][/tex] di una funzione definita in questo intervallo, ti si sta chiedendo di calcolare l'area sottesa dalla funzione in questione.
Sai meglio di me che per calcolarla, devi risolvere l'integrale:
[tex]$\int_{a}^{b} f(x) dx$[/tex]
Cioè in pratica cosa stai facendo?
Stai sommando (segno di integrale), le aree di tutti quei rettangolini di altezza [tex]$f$[/tex] e base [tex]$dx$[/tex]; questa somma ti darà l'area tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex].
Tanto più infittisci questi rettangolini, cioè tanto più ne riduci la base, tanto più ti avvicinerai alla vera area (guarda la figura).
Il rettangolo più grande è quello di base [tex]$[a,b]$[/tex] (che come vedi dalla figura - prima immagine animata - ti dà un valore di area molto lontano a quello che stai cercando); supponi ora di dividerlo in [tex]2[/tex] (avrai un valore più preciso ma ancora lontano), ciascuna parte dividila ancora in [tex]2[/tex] e così via all'infinito.
Ecco perché si usa quel [tex]$dx$[/tex], per indicare che la base deve essere infinitesimamente piccola, per avere un'esatto (o quasi) valore dell'area.
Ovviamente ci sarebbe da fare un discorso molto più dettagliato e delicato su somme inferiori, superiori ecc, ma per questo ti rimando ad un sito dove l'argomento è trattato in maniera molto semplice, per chi è alle prime armi: http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/int/Frame3.htm..
.Quando ti si chiede di calcolare un integrale definito in un generico intervallo [tex][a,b][/tex] di una funzione definita in questo intervallo, ti si sta chiedendo di calcolare l'area sottesa dalla funzione in questione.
Sai meglio di me che per calcolarla, devi risolvere l'integrale:
[tex]$\int_{a}^{b} f(x) dx$[/tex]
Cioè in pratica cosa stai facendo?
Stai sommando (segno di integrale), le aree di tutti quei rettangolini di altezza [tex]$f$[/tex] e base [tex]$dx$[/tex]; questa somma ti darà l'area tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex].
Tanto più infittisci questi rettangolini, cioè tanto più ne riduci la base, tanto più ti avvicinerai alla vera area (guarda la figura).
Il rettangolo più grande è quello di base [tex]$[a,b]$[/tex] (che come vedi dalla figura - prima immagine animata - ti dà un valore di area molto lontano a quello che stai cercando); supponi ora di dividerlo in [tex]2[/tex] (avrai un valore più preciso ma ancora lontano), ciascuna parte dividila ancora in [tex]2[/tex] e così via all'infinito.
Ecco perché si usa quel [tex]$dx$[/tex], per indicare che la base deve essere infinitesimamente piccola, per avere un'esatto (o quasi) valore dell'area.
Ovviamente ci sarebbe da fare un discorso molto più dettagliato e delicato su somme inferiori, superiori ecc, ma per questo ti rimando ad un sito dove l'argomento è trattato in maniera molto semplice, per chi è alle prime armi: http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/int/Frame3.htm..
"gugo82":
Quando si parla di integrazione rispetto ad una misura...
Giusto oggi abbiamo affrontato gli insiemi e le funzioni misurabili, credo che la prossima lezione affronteremo l'integrale secondo Lebesgue, che oggi ha semi-introdotto
"Mathcrazy":
Te la voglio buttare sul semplice, tenendo presente che in ciò che sto per dire non c'è nessuna rigorosità...
Quando ti si chiede di calcolare un integrale definito in un generico intervallo [tex][a,b][/tex] di una funzione definita in questo intervallo, ti si sta chiedendo di calcolare l'area sottesa dalla funzione in questione.
Sai meglio di me che per calcolarla, devi risolvere l'integrale:
[tex]$\int_{a}^{b} f(x) dx$[/tex]
Cioè in pratica cosa stai facendo?
Stai sommando (segno di integrale), le aree di tutti quei rettangolini di altezza [tex]$f$[/tex] e base [tex]$dx$[/tex]; questa somma ti darà l'area tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex].
Tanto più infittisci questi rettangolini, cioè tanto più ne riduci la base, tanto più ti avvicinerai alla vera area (guarda la figura).
Il rettangolo più grande è quello di base [tex]$[a,b]$[/tex] (che come vedi dalla figura - prima immagine animata - ti dà un valore di area molto lontano a quello che stai cercando); supponi ora di dividerlo in [tex]2[/tex] (avrai un valore più preciso ma ancora lontano), ciascuna parte dividila ancora in [tex]2[/tex] e così via all'infinito.
Ecco perché si usa quel [tex]$dx$[/tex], per indicare che la base deve essere infinitesimamente piccola, per avere un'esatto (o quasi) valore dell'area.
Ovviamente ci sarebbe da fare un discorso molto più dettagliato e delicato su somme inferiori, superiori ecc, ma per questo ti rimando ad un sito dove l'argomento è trattato in maniera molto semplice, per chi è alle prime armi: http://dinamico2.unibg.it/ctd/matgen/int/Frame3.htm..
spiegazione molto più che capibile.
E riguardo alla variabile di integrazione $x$ ? Ho letto che ci può risultare molto utile quando abbiamo a che fare con delle sostituizioni, inoltre viene chiamata variabile "muta", "fittizia", semplicemente perchè??
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