Integrale lungo la curva indicata

[òneiros1]

Calcolare il seguente integrale lungo la curva indicata
intC(x+y^3)ds
dove C è il segmento di R^2 congiungente i punti (0,0) e (1,1).
Grazie.

[Studente Anonimo]

Il segmento C ha equazione parametrica x = ; y = t con t da 0 a 1 .

Quindi :

intC(x + y^3)ds = int(0,1)((t + t^3)*sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2))dt =

= sqrt(2) * int(0,1)(t + t^3)dt = ecc.

S. E. e O.

Ciao.

[Studente Anonimo]

ho scritto male l'equazione parametrica del segmento. La riscrivo :

x = t ; y = t

[fireball1]

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[òneiros1]

Grazie, però non sono riuscito a capire perchè moltiplichi l'intC(x + y^3)ds = int(0,1)((t + t^3)*sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2))dt;
me lo puoi spiegare. Ti ringrazio ancora.

[Studente Anonimo]

E' il ds, l'elemento di lunghezza. Per il teorema di Pitagora si ha :

ds = sqrt(dx^2+dy^2)

poi introduco il dt moltiplicando dentro (al denominatore) e fuori la radice. Ottengo così le derivate di x e y.

Per l'altro quesito ci guarderò stasera.

Per il momento ti suggerirei di controllare se la 1-forma è esatta. Se è esatta, l'integrale è lo stesso su tutte le curve, per cui si sceglie la più semplice (il segmento che unisce i punti (1,0) e (-1,0)).

Ciao.