Integrale linea arco spirale espresso in forma polare
Mi è richiesto il calcolo del seguente integrale di linea:
$int_(gamma) f ds$
$f(x,y)=ln(x^2+y^2)$
Dove $gamma$ è un arco di spirale logaritmica di equazione polare:
$p(t)=e^t$ con $tin [0, pi]$
Il mio problema sta nell' impostare l'esercizio, so che:
$ds = int_(phi_0 )^(phi_1) sqrt(f'(phi)^2+f(phi)^2) dphi=int_(0 )^(pi) sqrt(e^(2t))dt$
Quindi:
$int_(gamma) f ds =int_(0)^(pi) f(gamma)*sqrt(e^(2t))dt$
Ma $gamma$ è in coordinate polari e non ci riesco a mettere dentro i valori di $x$ e $y$ per per giunta non ho.
$int_(gamma) f ds$
$f(x,y)=ln(x^2+y^2)$
Dove $gamma$ è un arco di spirale logaritmica di equazione polare:
$p(t)=e^t$ con $tin [0, pi]$
Il mio problema sta nell' impostare l'esercizio, so che:
$ds = int_(phi_0 )^(phi_1) sqrt(f'(phi)^2+f(phi)^2) dphi=int_(0 )^(pi) sqrt(e^(2t))dt$
Quindi:
$int_(gamma) f ds =int_(0)^(pi) f(gamma)*sqrt(e^(2t))dt$
Ma $gamma$ è in coordinate polari e non ci riesco a mettere dentro i valori di $x$ e $y$ per per giunta non ho.
Risposte
Beh penso sia la notazione che ti confonde... ma l'equazione della spirale logaritmica è $$r(\theta)=ae^{b\theta}$$
quindi nel tuo caso hai , $a=b=1$ , $\theta=t$ e cosa più importante $r=p$ , e di conseguenza per definizione di distanza dall'origine, $p^2=x^2+y^2$ e da qui dovresti riuscire ad andare avanti da solo... Però secondo me il tuo procedimento è inutilmente "complicato"(e non vorrei puntare il dito ma credo sia sbagliato) perché questi integrali si risolvono con la definizione, ovvero
$$\int_\gamma f(s)ds= \int_a^b f(\gamma(t)) \dot{\gamma}(t) dt$$ dove $\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}$
quindi semplicemente $ds=\dot{\gamma}(t) dt$ dove nel tuo caso $\dot{\gamma}(t) =e^t$ che è lo stesso che hai trovato tu(anche se non ho ben capito come l'hai trovato), perché $$\sqrt{e^{2t}}=e^t$$
Inoltre nel tuo caso la curva non dovremmo chiamarla $\gamma$, ma $p$ per evitare di confonderci con la notazione.
Infine un "dettaglio", ma non mi torna tanto la validità della tua formula
questa al massimo a me sembra più la definizione di $s$, più che quella di $ds$, senza contare che non ho capito chi sarebbe $f$, di preciso dove l'hai letta?
quindi nel tuo caso hai , $a=b=1$ , $\theta=t$ e cosa più importante $r=p$ , e di conseguenza per definizione di distanza dall'origine, $p^2=x^2+y^2$ e da qui dovresti riuscire ad andare avanti da solo... Però secondo me il tuo procedimento è inutilmente "complicato"(e non vorrei puntare il dito ma credo sia sbagliato) perché questi integrali si risolvono con la definizione, ovvero
$$\int_\gamma f(s)ds= \int_a^b f(\gamma(t)) \dot{\gamma}(t) dt$$ dove $\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}$
quindi semplicemente $ds=\dot{\gamma}(t) dt$ dove nel tuo caso $\dot{\gamma}(t) =e^t$ che è lo stesso che hai trovato tu(anche se non ho ben capito come l'hai trovato), perché $$\sqrt{e^{2t}}=e^t$$
Inoltre nel tuo caso la curva non dovremmo chiamarla $\gamma$, ma $p$ per evitare di confonderci con la notazione.
Infine un "dettaglio", ma non mi torna tanto la validità della tua formula
"Luk_3D":
so che:
$ds = int_(phi_0 )^(phi_1) sqrt(f'(phi)^2+f(phi)^2) dphi=int_(0 )^(pi) sqrt(e^(2t))dt$
questa al massimo a me sembra più la definizione di $s$, più che quella di $ds$, senza contare che non ho capito chi sarebbe $f$, di preciso dove l'hai letta?
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