Integrale irrisolvibile

[franco210]

Esiste una soluzione per questo integrale!!?

integr(1/radq(1+cos^2 X - cos x))dx

Grazie.



Modificato da - franco il 25/04/2003 10:11:37

[goblyn]

Ciao Franco!
Spero di aver fatto bene i conti.
Operando la sostituzione t=tg(x/2) si ottiene

integ(2/sqrt(1+3t^4)).

Spulciando un manuale di Analisi I ho trovato il seguente:

Sia dato un integrale del tipo:

integ(x^m * (a+bx^n)^p ) con m,n,p numeri razionali

Cebicev ha dimostrato che tale integrale è calcolabile elementarmente se e solo se uno dei tre numeri
p, (m+1)/n, (m+1)/n + p
è intero.

Nel nostro caso:

p=-1/2
m=0
n=4

quindi

p=-1/2
(m+1)/n=1/4
(m+1)/n+p=-1/4

Concludiamo che il nostro integrale non è risolvibile elementarmente.

Però non è detto che con qualche altra tecnica si possa avere una soluzione in forma chiusa. Indagherò!

goblyn

[goblyn]

Ciao!
Primitive in forma esplicita di quella funzione non ne ho trovate.
Mi sono chiesto quanto valesse l'integrale definito tra 2 estremi (0 e ts, dove ts è il massimo t che ho potuto utilizzare sviluppando in serie la funzione integranda). Scrivo qui il risultato che ho ottenuto... magari a qkuno interessa...!

ABS(x) è il modulo di x

S[k=a,b](ak) denota la somma su k che va da a a b di ak.

INT(f(x)) denota l’integrale indefinito di f(x) in dx.

INT[a,b](f(x)) denota l’integrale definito da a a b di f(x) in dx.

BIN(a,b) denota il coefficiente binomiale a su b.

GAMMA(a) denota la funzione gamma nel punto a, ovvero:

GAMMA(a)=INT[0,+inf](x^(a-1)*exp(-x)) (1)

Sia

f(t) = 2/sqrt(1+3*t^4) (2)

Il nostro compito era quello di calcolare:

INT(f(t))

Sviluppiamo in serie f(t):

f(t) = S[n=0,+inf] ( BIN(-1/2,n) * (3t^4)^n ) (3)

che converge se ABS(t)<= ts, dove

ts = 3^(-1/4)

D’ora in poi riterremo valida quest’ipotesi.

Calcoliamo allora l’integrale definito seguente:

I = INT[0,ts](f(t)) (4)

Integriamo termine a termine e otteniamo:

I = 2 * 3^(-1/4) * S[n=0,+inf] ( BIN(-1/2,n) / (4n+1) ) (5)

Ma quanto vale BIN(-1/2,n) ?

Per definizione

BIN(-1/2,n) = (-1/2)*(-1/2-1)*…*(-1/2-n+1)/n!
Ovvero

BIN(-1/2,n) = (-1)^n * 2^(-2n) * (2n)!/(n!)^2 (6)

Quindi la (5) si riscrive così:

I = 2 * 3^(-1/4) * S[n=0,+inf] ( ((-1)^n * 2^(-2n) * (2n)!) / ((n!)^2* (4n+1)) )

Che fornisce I = 1.3161 circa.

[franco210]

Grazie 1000!!!