Integrale irrisolto

[Primavera2]

Svolgendo esercizi sugli integrali mi è capitato questo qui:
$ int_(0)^(2pi)(2+cos^2x)/(1+sen^2x)dx $ La prima cosa che mi è venuta in mente da fare è dividere in due frazioni ottenendo cosi:
$ int_(0)^(2pi)(cos^2x)/(1+sen^2x)dx + 2int_(0)^(2pi)1/(1+sen^2x)dx $ Al primo integrale ho applicato una sostituzione di $ 1+sen^2x=t $ in modo da ottenere $ dx=dt/(cos^2x) $ ma non riesco a cavarne un ragno dal buco, nemmeno per il secondo. Come dovrei svolgerlo?
Grazie

[Gost91]

Ricordati che:

$int(f'(x))/(1+f^2(x))dx=arctanf(x)+c$

Ah, scusa non avevo notato che avevi $cos^2(x)$ al numeratore.
In tal caso avresti ottenuto come soluzione $arctan(sinx)+c$

[ciampax]

Per prima cosa puoi osservare che

$\frac{2+\cos^2 x}{1+\sin^2 x}=\frac{3-\sin^2 x}{1+\sin^2 x}=\frac{4}{1+\sin^2 x}-1$

Per integrare $\frac{4}{1+\sin^2 x}$ userei la formula di bisezione del seno $\sin^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$ da cui

$\frac{4}{1+\sin^2 x}=\frac{8}{3+\cos(2x)}$

e a questo punto sostituirei $\cos(2x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ t=\tan x$.

[Primavera2]

Non capisco perchè prorpio la sostituzione $\cos(2x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ t=\tan x$. cmq provo a risvolgerlo cosi grazie

[ciampax]

Sostituzioni parametriche. In generale

[tex]$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad t=\tan\frac{x}{2}$[/tex]

Qui avendo come angolo di base $2x$ si semplifica un pochino.

P.S.: non hai mai sentito parlare delle sostituzioni parametriche per gli integrali di funzioni razionali trigonometriche? Ahi ahi ahi ahi ahi!

[Primavera2]

Oddio il nostro professore nn l'ha mai spiegato in questa maniera, anzi proprio nn l'ha fatto cmq l'integrale poi viene grazie