Integrale irrazionale "rognoso"
Buongiorno a tutti,
dato l'integrale $ int_(0)^(1) sqrt(6+4x^2) dx $
non riesco a trovare una primitiva della funzione $sqrt(6+4x^2)$.
In genere per una funzione irrazionale del tipo $sqrt(a^2+x^2)$ si utilizza la sostituzione $x=aSht$, ma in questo caso, a causa del 4 davanti alla $x^2$, non riesco a trovare la sostituzione giusta !
Mi basta solamente uno spunto su come procedere, perché probabilmente non riesco a vedere la sostituzione corretta.](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
dato l'integrale $ int_(0)^(1) sqrt(6+4x^2) dx $
non riesco a trovare una primitiva della funzione $sqrt(6+4x^2)$.
In genere per una funzione irrazionale del tipo $sqrt(a^2+x^2)$ si utilizza la sostituzione $x=aSht$, ma in questo caso, a causa del 4 davanti alla $x^2$, non riesco a trovare la sostituzione giusta !
Mi basta solamente uno spunto su come procedere, perché probabilmente non riesco a vedere la sostituzione corretta.
Risposte
Dovresti fare in modo che quel $4$ esca fuori alla radice
Segui il consiglio che ti è stato dato e prova a ricondurre tutto alla forma
$ intsqrt(1+x^2)dx $ , a quel punto hai finito
$ intsqrt(1+x^2)dx $ , a quel punto hai finito
Appena postato ho avuto l'illuminazione ! grazie mille per le risposte ad entrambi 
Posto la mia risoluzione se mai a qualcuno dovesse servire.
Vi chiedo umilmente conferma sul il mio procedimento, che penso di aver allungato
Dato l'integrale $ int_(0)^(1) sqrt(6+4x^2) dx $ , opero la sostituzione $x=sqrt(6/4)Sht$, da cui $dx=sqrt(6/4)Cht dt$
Gli estremi d'integrazione cambiano in questo modo: quello inferiore rimane $0$, mentre quello superiore è dato da $senh^-1(1/sqrt(6/4))$.
In forza alle sostituzioni l'integrale diventa:
$int_(0)^(senh^-1(1/sqrt(6/4))) sqrt(6(1+Sh^2t)*sqrt(6/4))Cht dt $
$ 3int_(0)^(senh^-1(1/sqrt(6/4))) Ch^2t dt $
Ricordando la definizione di $Ch (t)=(e^t+e^-t) /2$, opero la sostituzione $e^t=t$, da cui $t=lnu$ e $dt=(du)/u$.
Gli estremi d'integrazione diventano ora: quello superiore $U=e^(senh^-1(1/sqrt(6/4))) \approx 2.12$, mentre quello inferiore $e^0=1$.
L'integrale si riscrive come
$ 3/4int_(0)^(U) (u+1/u)^2*(du)/u $
e risolvendo gli integrali al suo interno, che sono immediati:
$ 3/4[u^2/2+2lnu-1/(2u^2)]_0^U \approx 2.994 $
Wolfram alpha approved: 1 e 2
Posto la mia risoluzione se mai a qualcuno dovesse servire.
Vi chiedo umilmente conferma sul il mio procedimento, che penso di aver allungato
Dato l'integrale $ int_(0)^(1) sqrt(6+4x^2) dx $ , opero la sostituzione $x=sqrt(6/4)Sht$, da cui $dx=sqrt(6/4)Cht dt$
Gli estremi d'integrazione cambiano in questo modo: quello inferiore rimane $0$, mentre quello superiore è dato da $senh^-1(1/sqrt(6/4))$.
In forza alle sostituzioni l'integrale diventa:
$int_(0)^(senh^-1(1/sqrt(6/4))) sqrt(6(1+Sh^2t)*sqrt(6/4))Cht dt $
$ 3int_(0)^(senh^-1(1/sqrt(6/4))) Ch^2t dt $
Ricordando la definizione di $Ch (t)=(e^t+e^-t) /2$, opero la sostituzione $e^t=t$, da cui $t=lnu$ e $dt=(du)/u$.
Gli estremi d'integrazione diventano ora: quello superiore $U=e^(senh^-1(1/sqrt(6/4))) \approx 2.12$, mentre quello inferiore $e^0=1$.
L'integrale si riscrive come
$ 3/4int_(0)^(U) (u+1/u)^2*(du)/u $
e risolvendo gli integrali al suo interno, che sono immediati:
$ 3/4[u^2/2+2lnu-1/(2u^2)]_0^U \approx 2.994 $
Wolfram alpha approved: 1 e 2
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