Integrale irrazionale fratto: dubbi sulla sostituzione

[alessi0_r1]

Buonasera! ho tra le mani questo integrale che purtroppo non riesco a risolvere:

$ int(2x+2)/sqrt(x^2+x) dx $

ho provato a risolverlo prima dividendo l'integrale e poi con il metodo della sostituzione, vi posto i passaggi:

$ int(2x+2)/sqrt(x^2+x) dx =int(2x+1+1)/sqrt(x^2+x)dx=int(2x+1)/sqrt(x^2+x)dx+int(1)/sqrt(x^2+x)dx $

arrivato a questo ho imposto la sostituzione: $ y=x^2+x $ e quindi $ dy=(2x+1)dx $
ora nel primo integrale ottengo: $ int1/sqrtydy=2sqrt(x^2+x $ e fin qui tutto bene.
Il problema è con il secondo integrale dove non so continuare anche perchè (credo) che la mia sostituzione non funzioni.

[ciampax]

Infatti la cosa non funziona. C'è un metodo ben preciso per integrare funzioni che presentino sotto radice quadrata un polinomio di secondo grado generico $ax^2+bx+c$: li conosci?

[alessi0_r1]

Forse ho capito.In questo caso avendo $ x^2+x $ sotto radice che ha $ Delta < 0 $ devo porre $ sqrt(x^2+x)=x+y $ ,giusto?

[stormy1]

$x^2+x=0$ non ha il delta negativo,ma positivo

terza sostituzione di Eulero
se il trinomio $ax^2+bx+c$ ammette radici reali distinte,detta $alpha$ una qualsiasi delle 2 radici la sostituzione da fare è $sqrt(ax^2+bx+c)=(x-alpha)t$

infatti si ha
$a(x-alpha)(x-beta)=(x-alpha)^2t^2$
$a(x-beta)=(x-alpha)t^2$
e da qui puoi ricavare la x in funzione di t

[alessi0_r1]

giusto che la c è uguale 0 va bene grazie mille provo a svolgere l'integrale così

[alessi0_r1]

scusate ma la regola va applicata a tutta la funzione oppure solo al secondo integrale?

[stormy1]

ovviamente solo al secondo
il primo già l'hai risolto

[alessi0_r1]

Continuo in questa discussione perché volevo un parere sempre su questo integrale.
L'integrale abbiamo detto che si risolve tramite la sostituzione di Eulero ma spulciando l'eserciziario del mio prof (dove ho preso questo integrale) ho trovato una formula per risolvere gli integrali del tipo: $ int1/sqrt(ax^2+bx+c)dx $ che mi dice:

Se $ b^2-4ac!= 0 $ e $ a>0 $ ho che l'integrale $ int1/sqrt(ax^2+bx+c)dx=1/sqrtalog| x+b/(2a)+sqrt(x^2+b/ax+c/a)| $

ora provando con il mio integrale mi viene:
$ int1/sqrt(x^2+x)dx=log| x+1/2+sqrt(x^2+x)| $ mentre il risultato è $ log| 2x+1+2sqrt(x^2+x)| $, come posso fare?
ho provato anche a fare $ log| (2x+1+2sqrt(x^2+x))/2| $ ma poi avrei al denominatore quel 2.

[ciampax]

$\log(a/b)=\log a-\log b$, e visto che nelle risoluzioni degli integrali ci vanno costanti arbitrarie...

[alessi0_r1]

In pratica facendo la differenza tra logaritmi quel $ log(2) $ sarebbe la costante arbitraria e quindi posso automaticamente escluderla dal risultato?

[ciampax]

Esatto: verrebbe assorbito dal $+c$ da mettere alla fine dell'integrale indefinito.