Integrale irrazionale

[Mrs92]

$\int sqrt(4 - x^2)dx $

pongo $ t= sqrt(4 - x^2)$ da cui $2tdt = -2xdx$

$-\int - (sqrt(4 - x^2))/x * xdx $

$- \int t^2 /(sqrt(4 - t^2)) dt$

$ \int t^2 /(sqrt(t^2 - 4)) dt$

in preda a virtuosismi matematici ho azzardato questo:

$ \int t /(sqrt(1 - (2/t)^2)) dt$


fino a qui è giusto? probabilmente dovrebbe venirmi una soluzione con $arcsin$
purtroppo mi son bloccato.

[lordb]

Guarda solitamente per risolvere questo tipo di integrale si sfruttano le relazioni goniometrice:

$int sqrt (4-x^2)dx = int sqrt (4 (1-x^2/4))dx = 2 int sqrt (1 -(x/2)^2) dx$

Posto $x/2=sin(t) -> x = 2*sin(t) -> dx = 2*cos(t) dt$

Ottieni: $2 int sqrt (1 -sin(t)^2) 2*cos(t) dt = 4 int cos^2(t) dt$....

[Brancaleone1]

E' un integrale riconducibile alla forma $\int \sqrt(a^2-x^2)dx$.

Si può risolvere ponendo ponendo $x=a \sin t= 2 \sin t \Rightarrow dx=a \cos t dt=2 \cos t dt$

$\Rightarrow \sqrt(4-x^2)=\sqrt(4(1- \sin^2t))=\sqrt(4 \cos^2 t)= |2 \cos t|$

e perciò

$\int \sqrt(4^2-x^2)dx=\int (|2 \cos t| \cdot 2 \cos t )dt=4\int (\cos^2 t )dt = 2 \sin(t)\cos(t)+2t+c$

basta risostituire e hai risolto

EDIT: inserito mentre lordb aveva già risposto

[Mrs92]

ok capito, grazie mille

[lordb]

Se ti può interessare qui c'è un esempio di integrazione -definita- con sostituzione di funzioni iperboliche:

http://www.matematicamente.it/forum/difficolta-con-integrale-con-radice-t99260.html