Integrale irrazionale
Salve desideravo un parere sul seguente integrale:
$int sqrt((1+x)/(1-x)) dx= $
svolgiamo
$sqrt(1+x)/sqrt(1-x)= (1+x)/(sqrt(1-x) sqrt(1+x))= (1+x)/(sqrt(1-x^2))$
si ha quindi $ int 1/(sqrt(1-x^2)) dx + int x/(sqrt(1-x^2)) dx = $
Dal primo integrale "noto" si arriva ad $arcsen x$
nel testo si continua con $ int 1/(sqrt(1-x^2)) dx - int ((d) (1-x^2))/(2sqrt(1-x^2)) dx = arcsen x - sqrt (1-x^2) + c$
potreste spiegarmi il secondo integrale a quale integrale noto fa riferimento.... "se ne fa"
e quindi la comparsa di quel segno meno??
non ho ben capito quest'ultimo passaggi fatto dal libro.... cosa intende con $ d (1-x^2) $ derivata bho ? e il 2 messo a denominatore?..
grazie per le delucidazioni
Cordiali saluti.
$int sqrt((1+x)/(1-x)) dx= $
svolgiamo
$sqrt(1+x)/sqrt(1-x)= (1+x)/(sqrt(1-x) sqrt(1+x))= (1+x)/(sqrt(1-x^2))$
si ha quindi $ int 1/(sqrt(1-x^2)) dx + int x/(sqrt(1-x^2)) dx = $
Dal primo integrale "noto" si arriva ad $arcsen x$
nel testo si continua con $ int 1/(sqrt(1-x^2)) dx - int ((d) (1-x^2))/(2sqrt(1-x^2)) dx = arcsen x - sqrt (1-x^2) + c$
potreste spiegarmi il secondo integrale a quale integrale noto fa riferimento.... "se ne fa"
e quindi la comparsa di quel segno meno??
non ho ben capito quest'ultimo passaggi fatto dal libro.... cosa intende con $ d (1-x^2) $ derivata bho ? e il 2 messo a denominatore?..
grazie per le delucidazioni
Cordiali saluti.
Risposte
L'integrale "noto" $\int \frac{1}{\sqrt {1-x^2}}dx$ in realtà è un caso particolare dell'integrale "immediato" $\int \frac{f'(x)}{\sqrt {1-[f(x)]^2}}dx$.
Infatti se poni $f(x)=x$ ecco il tuo integrale "noto". Nel secondo addendo c'è un'altra particolarizzazione dello stesso integrale...
Infatti se poni $f(x)=x$ ecco il tuo integrale "noto". Nel secondo addendo c'è un'altra particolarizzazione dello stesso integrale...
"Orlok":
L'integrale "noto" $\int \frac{1}{\sqrt {1-x^2}}dx$ in realtà è un caso particolare dell'integrale "immediato" $\int \frac{f'(x)}{\sqrt {1-[f(x)]^2}}dx$.
Infatti se poni $f(x)=x$ ecco il tuo integrale "noto". Nel secondo addendo c'è un'altra particolarizzazione dello stesso integrale...
grazie Orlok ...il punto è che il primo integrale l'ho studiato....E lo so
mentre la "particolarizzazione" del secondo ... non lo trovo ne tra i miei appunti e neanche nel testo...
saresti così gentile da postarla ?
in modo che capisca,,,
$sqrt(1+x)/sqrt(1-x)= (1+x)/(sqrt(1-x) sqrt(1+x))= (1+x)/(sqrt(1-x^2))$ Non capisco questo passaggio 
"Orlok":
$sqrt(1+x)/sqrt(1-x)= (1+x)/(sqrt(1-x) sqrt(1+x))= (1+x)/(sqrt(1-x^2))$ Non capisco questo passaggio
è facilissimo te lo spiego iooo
!si cerca di eliminare la radice al numeratore moltiplicando per $sqrt(1+x) $ sia appunto al Numeratore che al Denominatore in modo da formare i due integrali "noti o seminoti che dir si voglia"
ps:
scherzoo te lo spiego io ma l'ho chiarito pochi istanti fa questo dubbio...
cit : Forum Matematicamente_ sezione Scuola Secondaria || grado!
anche a me ha fatto perdere del tempo quel passaggio,,, ho chiesto nel forum, ed un utente mi ha dato codesta spiegazione che a momenti non mi sento di controbattere!ps: cmq aspetto la spiegazione del secondo integrale
Si, ok, adesso è chiaro XD
Dunque... esiste un altro integrale "immediato" quando si ha $\int [f(x)]^\alpha f'(x)dx=\frac{1}{\alpha+1}[f(x)]^{\alpha+1}+c$
Il simbolo $d(1-x^2)$ sta ad indicare che il libro sta considerando come funzione $f(x)=(1-x^2)$ la cui derivata sappiamo essere $Df(x)=D(1-x^2)=-2x$ (*)
Affinché possiamo rientrare nell'integrale immediato però occorre fare una modifica, infatti $\int \frac{x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ lo riscriviamo come $-\frac{1}{2}\int \frac{-2x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ come puoi vedere non è cambiato nulla e rientriamo così nel nostro integrale immediato. A questo punto puoi continuare anche tu.
EDIT:(*) Scusa mi ero dimenticato una "D".
Dunque... esiste un altro integrale "immediato" quando si ha $\int [f(x)]^\alpha f'(x)dx=\frac{1}{\alpha+1}[f(x)]^{\alpha+1}+c$
Il simbolo $d(1-x^2)$ sta ad indicare che il libro sta considerando come funzione $f(x)=(1-x^2)$ la cui derivata sappiamo essere $Df(x)=D(1-x^2)=-2x$ (*)
Affinché possiamo rientrare nell'integrale immediato però occorre fare una modifica, infatti $\int \frac{x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ lo riscriviamo come $-\frac{1}{2}\int \frac{-2x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ come puoi vedere non è cambiato nulla e rientriamo così nel nostro integrale immediato. A questo punto puoi continuare anche tu.
EDIT:(*) Scusa mi ero dimenticato una "D".
"Orlok":
Si, ok, adesso è chiaro XD
Dunque... esiste un altro integrale "immediato" quando si ha $\int [f(x)]^\alpha f'(x)dx=\frac{1}{\alpha+1}[f(x)]^{\alpha+1}+c$
Il simbolo $d(1-x^2)$ sta ad indicare che il libro sta considerando come funzione $f(x)=(1-x^2)$ la cui derivata sappiamo essere $Df(x)=D(1-x^2)=-2x$ (*)
Affinché possiamo rientrare nell'integrale immediato però occorre fare una modifica, infatti $\int \frac{x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ lo riscriviamo come $-\frac{1}{2}\int \frac{-2x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ come puoi vedere non è cambiato nulla e rientriamo così nel nostro integrale immediato. A questo punto puoi continuare anche tu.
EDIT:(*) Scusa mi ero dimenticato una "D".
Orlok ma se lo scrivi con $-(1)/(2)$ fuori dall'integrale, quest'ultimo dovrebbe essere presente nella soluzione, invece non è così...
e poi l'integrale si presenta nella forma: $x/ {g[f(x)]} $ .... con $f(x)=1-x^2$
$int \frac{-2x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ <---- questo quì sarebbe l'integrale noto ?
c'è qualcosa che non mi torna....
ti ringrazio ma non si è ancora chiarito arriviamo ad $-sqrt(1-x^2)$ nella soluzione..
"Orlok":
Si, ok, adesso è chiaro XD
Dunque... esiste un altro integrale "immediato" quando si ha $\int [f(x)]^\alpha f'(x)dx=\frac{1}{\alpha+1}[f(x)]^{\alpha+1}+c$
Sei sicuro di quello che dici? O ti sei lasciato intimorire dal $-\frac{1}{2}$
Se applichi quella formula che ho scritto ponendo $f(x)=(1-x^2)$ :
$\int [f(x)]^\alpha f'(x)dx=\int [f(x)]^{-\frac{1}{2}}(-2x)dx=\int \frac{1}{[f(x)]^{1/2}}(-2x)dx$ ma siccome noi abbiamo $x$ a numeratore e non $-2x$ moltiplichiamo per $-\frac{1}{2}$
EDIT: in questo modo otteniamo:
$-\frac{1}{2}[\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}[(1-x^2)]^{-\frac{1}{2}+1}]+c=-\frac{1}{2}[2\sqrt {1-x^2}]+c=-\sqrt {1-x^2}+c$
"Orlok":
Si, ok, adesso è chiaro XD
Dunque... esiste un altro integrale "immediato" quando si ha $\int [f(x)]^\alpha f'(x)dx=\frac{1}{\alpha+1}[f(x)]^{\alpha+1}+c$
Affinché possiamo rientrare nell'integrale immediato però occorre fare una modifica, infatti $\int \frac{x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ lo riscriviamo come $-\frac{1}{2}\int \frac{-2x}{\sqrt {1-x^2}}dx$ come puoi vedere non è cambiato nulla e rientriamo così nel nostro integrale immediato. A questo punto puoi continuare anche tu.
Ho capito il modo in cui hai applicato la formula: si in effetti mi sono fatto trarre in inganno da $-(1)/(2);$
però voglio far le cose con calma perchè non ci ho capito gran chè , partiamo dal post precedentemente scritto da te:
per applicare quella formula deve esserci la derivata di $f(x)$ e $f(x)^alpha$ :
seguo ciò che hai scritto te :
noi abbiamo $-(1)/(2) int (-2x)/sqrt(1-x^2)= -(1)/(2)* int[ -2x* (1)/sqrt(1-x^2)]$; <-- non ce ne possiamo fare niente così per comè...? giusto ?
optiamo per un altra via risolutiva:
proponendo $sqrt (1-x^2)$ come $ (1-x^2)^(1/2)$ avremmo: $-(1)/(2)* int [(-2x)/ (1-x^2)^(1/2)]=-(1)/(2)*int -2x * 1/(1-x^2)^(1/2)= $ a questo punto manca ancora un ultima manipolazione per "creare magicamente" un integrale noto, cioè a dire scrivere $1/(1-x^2)^(1/2)$ come $ (1-x^2)^-(1/2)$<--- per ricondurci alla formula nota precedentemente scritta da te .
$ int [f(x)] ^alpha* (-2x) dx$
la frase che hai detto precedentemente: " noi non abbiamo $-2x$ al numeratore ma $x$ non la trovo di gran senso..." dal momento in cui abbiamo operato la moltiplicazione ed divisione per $-1/2$ , che fa ritorniamo di nuovo indietro a complicarci la vita XD ?
SI HA Quindi da svolgere l'integrale : $ -(1/2) * int [-2x* (1-x^2)^-(1/2)]= -(1/2)* [ ((1-x^2)^(-1/2+1))/(-1/2+1)]= -(1/2)* [ sqrt(1-x^2)/(1/2)] ;$ <--- sono bloccato quì!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Non so se ho fatto giusto fino a quì... l'unica cosa che so , che un integrale che mi sembrava semplice si è perso in tutti questi calcoli
ti invito ad analizzare quanto ho svolto...e magari trarre qualche conclusione
Grazie Orlok per i chiarimenti
edit: che sciocco: $-(1/2)* [ sqrt(1-x^2)/(1/2)] = -1/2 * [2 sqrt(1-x^2)]$
"mat100":
noi abbiamo $-(1)/(2) int (-2x)/sqrt(1-x^2)= -(1)/(2)* int[ -2x* (1)/sqrt(1-x^2)]$; <-- non ce ne possiamo fare niente così per comè...? giusto ?
Come "non ce ne possiamo fare niente"? Hai davanti agli occhi un integrale immediato.
[tex]$ - \frac {1}{2} \int \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}} dx = - \frac {1}{2} \int -2x (1-x^2)^{- \frac{1}{2}} dx =$[/tex]
Hai, fuori dalla parentesi, la derivata di ciò che stà all'interno della parentesi.
Quindi puoi applicare questo integrale immediato:
[tex]$\int f'(x) (f(x))^{\alpha} dx = \frac{(f(x))^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C$[/tex]
Quindi il tuo integrale è:
[tex]$ - \frac {1}{2} \int -2x (1-x^2)^{- \frac{1}{2}} dx = - \frac {1}{2} \cdot \frac{(1-x^2)^{- \frac{1}{2} +1}}{- \frac{1}{2} +1} = - \frac {1}{2} \cdot \frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2} }} {\frac{1}{2}} = -(1-x^2)^{\frac{1}{2} }} = - \sqrt {1-x^2} +C $[/tex]
Scusami, non avevo visto prima. Adesso è chiaro?
"Mathcrazy":
[quote="mat100"]
noi abbiamo $-(1)/(2) int (-2x)/sqrt(1-x^2)= -(1)/(2)* int[ -2x* (1)/sqrt(1-x^2)]$; <-- non ce ne possiamo fare niente così per comè...? giusto ?
Come "non ce ne possiamo fare niente"? Hai davanti agli occhi un integrale immediato.
[tex]$ - \frac {1}{2} \int \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}} dx = - \frac {1}{2} \int -2x (1-x^2)^{- \frac{1}{2}} dx =$[/tex]
Hai, fuori dalla parentesi, la derivata di ciò che stà all'interno della parentesi.
Quindi puoi applicare questo integrale immediato:
[tex]$\int f'(x) (f(x))^{\alpha} dx = \frac{(f(x))^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + C$[/tex]
Quindi il tuo integrale è:
[tex]$ - \frac {1}{2} \int -2x (1-x^2)^{- \frac{1}{2}} dx = - \frac {1}{2} \cdot \frac{(1-x^2)^{- \frac{1}{2} +1}}{- \frac{1}{2} +1} = - \frac {1}{2} \cdot \frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2} }} {\frac{1}{2}} = -(1-x^2)^{\frac{1}{2} }} = - \sqrt {1-x^2} +C $[/tex][/quote]
Math ma non sei andato avanti a leggere la mia risoluzione?
ti sei fermato solo alla frase " sinceramente" un pò forzata.... volevo dire non ce ne possiamo far niente scritta in quel modo.
ovviamente se vogliamo essere rigorosi è errata... perchè sappiamo che $sqrt(fx)= f(x)^(1/2)$
thankx orlok adex ho capito!
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